两道三角题

luyuanhong

这是网友 ccmmjj 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

一；三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≥4sinAsinBsinC（三角形中的正弦和积不等式）
二；三角形ABC中，若cocA/sinB+cosB/sinA=2,求证；C是直角。

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我的题目形式不难，但要会做，也不是那么容易，这都是我最近思考问题的副产品。

ccmmjj

先做一道吧；
一；三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≥4sinAsinBsinC（三角形中的正弦和积不等式）
证明：sinA+sinB+sinC=（sinA+sinB）+sin（A+B）
=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]
=2sin[(A+B)/2]{cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]}
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)≥4sinAsinBsinC
即要证明cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)≥sinAsinBsinC
而sinAsinBsinC=2sin(A/2)cos(A/2)2sin(B/2)cos(B/2)2sin(C/2)cos(C/2)
=8sin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)cos(B/2)sin(C/2)cos(C/2)
代入约去cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)>0即要证sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8.
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)={cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]}sin(C/2)/2
≤{1-cos[(A+B)/2]}cos[(A+B)/2]/2
令cos[(A+B)/2]=x,考虑到函数y=x(1-x)在（0，1）内的最大值1/4。所以
{1-cos[(A+B)/2]}cos[(A+B)/2]/2≤1/8。即是
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤{1-cos[(A+B)/2]}cos[(A+B)/2]/2≤1/8。证毕。
当且公当A=B=C=60度时等号成立。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ccmmjj 在 时添加 -=-=-=-=-
请陆老师审阅后编缉为好看的图片，我的写法实在不适合有兴趣者阅读。

wangyangkee

下面引用由ccmmjj在 2013/08/15 09:23pm 发表的内容： 先做一道吧；
一；三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≥4sinAsinBsinC（三角形中的正弦和积不等式）
证明：sinA+sinB+sinC=（sinA+sinB）+sin（A+B）
=2sincos+2sincos
=2sin{cos+cos}
=4cos(A/2 ...

ccmmjj的“先做一道吧；”

wangyangkee

下面引用由ccmmjj在 2013/08/15 09:23pm 发表的内容： 先做一道吧；
一；三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≥4sinAsinBsinC（三角形中的正弦和积不等式）
证明：sinA+sinB+sinC=（sinA+sinB）+sin（A+B）
=2sincos+2sincos
=2sin{cos+cos}
=4cos(A/2 ...

ccmmjj

二；三角形ABC中，若cosA/sinB+cosB/sinA=2,求证；C是直角 公布答案。 证明：不妨设A≤B。若B=90°-A，原式显然成立。此时C=90°。 现设B不是A的余角。 1;若B<90°，令T=90°-A，则cosA/sinT+cosT/sinA=2, 如果B>T，sinB>sinT、cosBcosA/sinT+cosT/sinA=2. 2;B=90°coA/sinB+cosB/sinA=cosA<2 3;B>90°令P=180°-B代入，原式变为cosA/sinP-cosP/sinA=2.此时P=A+C>A是锐角。去分母，得sin2A-sin2P=4sinAsinP →cos(A+P)sin(A-P)=cos(A-P)-cos(A+P),注意到等式右边大于0，左边sin(A-P)<0,所以cos(A+P)<0。移项得cos(A+P)[1+ sin(A-P)]= cos(A-P)，于是有cos(A+P)<0，1+ sin(A-P)>0得左边<0,右边cos(A-P)>0,这是矛盾。逆推之说明原式cosA/sinP-cosP/sinA=2不能成立即coA/sinB+cosB/sinA=2不能成立。 综合1、2、3可知唯有C=90°时，以上条件方能成立。证明完成。

ccmmjj