设 b1,b2,…,bn 为正整数，(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＞2^m ，试证 b1+b2+…+bn＞m

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

设 b1,b2,…,bn 为正整数，(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＞2^m ，试证 b1+b2+…+bn＞m
证
若m=n,则( 1+b1)(1+b2)…(1+bn)=2^n, b1=b2=…=bn=1为最小正整数， b1+b2+…+bn=n=m.
此时若(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＞2^m 则显然必有 b1+b2+…+bn＞m.
若m=n+1,则最小有( 1+1)(1+1)…(1+1)(1+3)=2^(n+1), b1+b2+…+bn=n+1=m.
此时若(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＞2^m 则显然必有 b1+b2+…+bn＞m.
…
若m=n+t,则最小有(1+b1)(1+b2)…(1+bn)=2^(n+t), b1+b2+…+bn=n+t=m.
此时若(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＞2^m 则显然必有 b1+b2+…+bn＞m.
毕。

luyuanhong

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2013/08/15 00:56am 第 1 次编辑]