狄拉克式不定方程题的扩展研究及陈氏求解体系

陈小刚陈小刚

                              狄拉克式不定方程题的扩展研究及陈氏求解体系
                                          
                                                                              陈  小  刚
            　                                                 中国农业銀行湖南省祁阳支行

摘要：研究狄拉克式不定方程题简易計算方法，是一个已有近百年的數学难题，从研究该題分配規律入手，可得到它的最简计算公式:y=a^n-db/c。若对其进行扩展研究，则可进一步得到1)能求解任何一个此类问题的通解公式组:y=ka(a/m)^(n-1)-db/c和y=[ka(a/m)^(n-1)-db]/c;(2)公式有解或无解的条件;(3)公式的解集及最小解;等完整的求解体系。同时研究还发现；除了个別的特殊情況外，此类问题的计算都能百分之百的且较容易都能得到解；从而切底的改变了过去在面对此问題時举足无措的狀況。
关健詞；狄拉克式；不定方程： 扩展研究：陈式求解体系：通解公式。

                                                            An extended study and solving system of
                                                                    Dirac type indefinite equations
                           
                                                                               Chen Xiao Gang
                                         (Agricultural Bank of China, Qiyang County, Hunan Province426100)

Abstract: The study of the simple calculation method of Dirac's indefinite equation is an interesting mathematical problem that has been going on for quite a hundred years. By studying the distribution rule of this problem, we can get its minimalist calculation formula y=an-db/c If we make the research object is extended to the entire field of this kind of problem, it can be obtained: (1) to solve all these problems: a simple general formula.y=ka(a/m)n-1-db/c.andy=[ka(a/m)n-1-db]/c and special solution formula; (2) the formula solution conditions, or no solution conditions; (3) the formula of solution set and minimum solution, complete solving system.At the same time, the study also found that, in addition to individual special cases, the calculation of such problems is relatively easy, and can be solved 100%; thus changing the past, in the face of such problems, there is no way to solve the plight.

Key words: equations of number theory: Dirac class: extended study: solution system, general solution formula
      
       1.引言：
       1.1 不定方程題“水手分椰子”，于1926年发表在美国的《星期六晚》邮报上，据说,最早是由大物理学家狄拉克提出来的，但寻找它的简易计算方法，却困扰住了他本人和他的数学界朋友。著名数学科普大师马丁*加德納也为求解此題，对其进行了大力推广和宣传。1979年诺贝尔獎获得者李政道博士，又以“五猴分桃”形式，将此题带到中国。自此以后，研究该题的简易计算方法风靡国内。
       1.2.在求解该问题的长河中，著名现代数理逻辑学家怀德海，曾对此題给出过一个(-4的巧妙特解；許多的后來者也為此作了不懈努力。但是，到目前为此，对该题的研究卻仍收获甚微，离系统、简易的求解该类问题，还存在着较大的差距。
       1.3，1979年.本人有幸看到了中国式的狄拉克式不定方程题“五猴分桃”,并求得得了它的最简易公式：y=a^n-db/c，最近几年通过对此问題的扩展研究，又进一步得到了能求解任何一个此类问題的完整的求解体系，现发表与大家共同探讨。
      
       2.狄拉克式不定方程题目和扩展的狄式不定方程问题
为了本文的求证分析方便，这里首先要确定两个基本慨念：1.狄拉克提出的“不定方程题目”，2.我们对其进行扩展研究而提出的“狄拉克式不定方程问题”
       2.1 狄拉克提出的原不定方程题目：
对于狄拉克提出的原趣味不定方程题“水手分椰了”，现用简单数学语言表述如下：
有一堆要被分配的某物，如果将它的总数用y来表示，则有在第一次分配时，把y分成了5份后, 刚好还剩余1个。接着在第二次分配时; 从弟一次分的5份中拿取4份，并将这4份之和，又分成5份，也刚好剩余一个。
接着第三次，第四次和第五次的分配方法，也和前面完全相同，每次分配后，最后也正好剩余一个。求在开始的第一次分配时，看到y的总数至少有多少个？
       对于该题目，由于它最后可以用不定方程的形式来表示，因些我们将它称之为：“狄拉克式不定方程题目”。
       2.2扩展的狄拉克式不定方程问题：如果我们将每次分配的总份数，剩余的余数，分的总次数等各个参与分配的因素，都扩展为变量，丛而将这个问题的研究，扩展到此类问题的整个领域。这个时候，我们将这个研究对象称之为：“狄拉克式不定方程问题”，或者简称为“秋式问题”
      
       3.扩展的狄拉克式不定方程题的陈氏求解体系及通解公式组
       3.1狄拉克式不定方程问题的陈氏通解公式组：
　　对于任何一个“狄拉克式不定方程问题”，我们都可用如下的“陈氏通解公式”组来求解(或简称为“通解公式”。
       通解公式(1) y=ka(a/m)^(n-1)-db/c (用于b/c为正整数，有解的条件b/c为正整) 。
       通解公式(2) y=[ka(a/m)^(n-1)-db]/c,(用于b/c不为正整数，有解的条件b/m为正整)。
       通解公式组中，各个符号所代表的意义分别为:         
y ── 要被分的某物的总个数
a ── 每次要分配的总份数,（a为任意正整数，a=d+c）
n ── 需要分配的总次数，（n≥于2的任意自然数）
b ── 每次分配a份后的剩下的余数, （b＜a）
c ── 每次分配a份后、拿走的其中的份数
d ── 每次分a份、拿走c份后,剩下继续再分的份数
K ── 通解公式(2)中的、能使y得到符合题意的解的参数
m ── 式中的a和d共有的最大公约数
说明：
       a.在上面通解公式中，按照这种类型题的题意的要求；y、a、b、c、d、n、k.m、等因素，无论是在运算过程中还是得出的运算结果，都必须是正整数，其中n≥2，
       b.且所有本文章中提到的“解”,皆是指整数解。
       c.在本问题研究中，通解公式有解或无解同等于此类问题的本身有解或无解，
       3.2通解公式组各公式的适用范围及有解或无解的条件
　　a.通解公式(1)适用于式中的b/c为正整时的求解, 且此情况下的此类问题必定会得解。若b/c不是一个正整数, 则须用通解公式(2)来求解,
　　b.通解公式(2)适用于b/c不为正整时的求解，且只有当b/m为正整数时，本公式才会有解，否则此时的问题没有解。(其证明见后面的4.4小节)
       注：.公式(1)和公式(2)的相互关系为：所有用公式(1)计算得到的解，用公式(2)计算也同样能得到，且解集相同．但是当b/c为正整数时，用公式(1)来求解要简易许多，这是本文用通解公式组来求解狄式问题的主要考量。
       c.从上面可看出：对于任何一个狄式问题不仅都可用通解公式组来求解，且当a和 d没有最大公约数时，这时狄式问题百分之百的都得到它的整数解。并可直接用如下更为简易计算公式组来求解。
       简易计算公式(1) y= ka^n-db/c (用于b/c为正整数)  
       简易计算公式(2) y=[ka^n-db]/c (用于b/c不为正整数)
       这个化简的计算公式为我们求解此类问题，提供了更大的方便。
       3.3 通解公式的解集及最小解：
       a.通解公式(1)的解集是: k为任意自然数时, 所得到的无限解集。很自然当k等于1时，所得到的解是符合题意的最小解。
       b.通解公式(2)解集是：当k的取值范围为 k+nc时,所得到的无限解集（n为任意自然数）。当k≤c时,y所得到的解，是符合题意的最小解。
       3.4通解公式中k值的取得方法
       a.在通解公式(1)有解时，式中的k可为任意正整数。
       b.在通解公式(2)有解时，式中的k要通过求k公式：k=(xc+b)/h^(n-1) 来求得，(其求k公式的推导见4.2小节),
       3.5 陈氏通解公式下的“水手分椰子”题的简易求解
       现在我们又回到问题的源头。对于风靡中外的“水手分椰子”一题,如果我们用简易通解公式(1)：y= ka^n-db/c 来解它, 则如囊中取物，容易的令人惊鳄
由于此题的b和c都为1, 这时简易通解公式(1)可简化成y=an-d，从而可非常容易的得到它最小解是：y=5^6-4=15621。也就说，这个曾令众多探索者冥思苦想的简易求解问题，现在用简易公式来解它，也就是一旬间。
      
       4.狄式不定方程的陈氏求解体系的的推导和求证
       4.1 陈氏简易求解公式y=a^n-db/c的推导及求证：
       设: 被分配的某物数量的总数为y,每次分配的份数为a, 余数为b.每次分a 份后拿走的为c份，剩下再分的份数为d, 其总共分配的次数为n次，设最后一次在分a 份时，分得的每份的数量为x（x为正整数）。
       那么最后一次分配时，看到的某物的数量应是 ：ax+b
       则在上一次分配时看到的数量为; (xa+b)a/d+b=a^2x/d+ba/d+b。
       再上一次分配时看到的数量是: (a^2x/d+ab/d+b)a/d+b=a^3x/d^2+b(a/d)^2+b(a/d)+b。  
       同样：再再上一次分配时看到的数量数量为： a^4x/d^3+b(a/d)^3+b(a/d)^2+b(a/d)+b。
       这样以此类推，我们可得到在最初第一次分配时，看到的总的数量y=a^nx/dn-1+[(a/d)^(n-1)+(a/d)^(n-2)+(a/d)^(n-3)+(a/d)^(n-4).......+(a/d)+1]b。
       这时的上式中有部分已成等比数例，经整理可得到：
y={a^nx+{a^(n-1)[1-(d/a)n]/(1-d/a)}b}/d^(n-1)
={a^nx+{a^(n-1)[1-(d/a)n]}ba/c}/d^(n-1)
=[a^nx+(a^(n-1)-a^(n-1)d^n/a^n)ad/c]/d^(n-1)
=[a^nx+(a^n-d^n)b/c]/d^(n-1)
=(a^nx+a^nb/c-d^nb/c)/d^(n-1)
=(a^nx+a^nb/c)/d^(n-1)-db/c
       此时可得到这样一个基本求解的等式；y＝a^n(x+b/c)/d^(n-1)-db/c,（为了后面求证方便我们将其记为“a式”），现为了求解，我们先将“a式”的求y, 转化为先求x的形式, 即x=d^(n-1)(y+db/c)/a^n-b/c。对于其中的(y+db/c)/a^n部分，可通过y的不同取值，使(y+db/c)/a^n等于1或1的整倍数k，从而得到最后一次分配时，分得的每份数量为x=kd^(n-1)-b/c；很显然只有当其中的b/c为整数时, x方可得到整数解。如果将这个x=kd^(n-1)-b/c代进“a式”，则可得到；y＝a^n(kd^(n-1)-b/c+b/c)/d^(n-1)-db/c，进而可得到问题的最简易求解公式：y=ka^n－db/c。同样此式的有解条件，实质上与求整数x相同，也必须是，b/c是一个正整数。　　　
对于“水手分椰子”这个例题, 由于b和c都等于1, 则还可进一步把公式简化成y=a^n－d, 这种更为简易形式来求解。
       4.2 狄式不定方程问题的陈氏通解公式组的推导及求证：
       在a和d无最大公约数时，用简易求解公式y=an－db/c 用来计算此类问题时虽十分简易, 但如果出现a和d有共同的最大公约数，或者b/c不是一个整数时，此用此公式就会得不到问题的最小解或者得不到解，故需用下面“陈氏通解公式”组来求解：
       a,陈氏通解公式(1) y=ka(a/m)^(n-1)－db/c的推导及求证
当a和d有公约数时，为了求得此时的“狄式问题”的最小解，我们须在4.1小节中“a式”中, 把它的公约数m考虑进去，这样便有：y＝a(a/m)^(n-1)[(x+b/c)/(d/m)^(n-1)]-db/c。(为后面求证方便,将其记为“b式”),同样, 可按照求简易公式的方法，将“b式”的求y, 转化为先求x, 这样有x=（d/m)^(n-1)(y+db/c)/a(a/m)^(n-1)-b/c, 也使其中的(y+db/c)/a(a/m)^(n-1) 得到某整数k, 从而进一步得到x=k(d/m)^(n-1)-b/c, 将其代进式“b式”,最后得到陈氏“通解公式(1)”：y=ka(a/m)^(n-1)－db/c
很显然简易求解公式y=a^n-db/c，是当“陈氏通解公式”(1)中的m、等于1时的简化形式。
       b.陈氏通解公式(2): y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c的推导及求证
       当b/c不是一个正整数, 为了求得此时y的整数解, 我们需对于上面4.2小节中得到的(b)式: y=a(a/m)^(n-1)(x+b/c)/(d/m)^(n-1)-db/c,将其中的a(a/m)^(n-1)(x+b/c)/(d/m)^(n-1)这一部分的分子和分母都同时乘以c，得到:y=a(a/m)^(n-1)(x+b/c)c/c(d/m)^(n-1)-db/c, 将其记做“c式”。
接着可按照“通解公式(1)”求证方法, 也将“c式”的求y, 转化为求x的形式，这样有: x=c(d/m)^(n-1)(y+db/c)/ca(a/m)^(n-1)-b/c，同样，也使c(y+db/c)/a(a/m)^(n-1)等于1或1的任意整倍数(记为k), 并可得到x=k(d/m)^(n-1)/c-b/c, 即x=k[(d/m)^(n-1)-b]/c, 当b/m为正整数时, 可通过k的不同取值，得到x的正整数解(k的取值方法，可见下面的4.3小节), 接着可得到: y=ka(a/m)^(n-1)/c-db/c,并进而得到“狄式问题”的陈氏通解公式(2):y=[ka(a/m)^(n-1)-db]/c。
       4.3关于陈氏通解公式(2)中的求k公式的推导及求证
       通解公式(2)求证我们可以看到：只有 (x＋b/c)c/(d/m)^(n-1)＝k，(k某整数)，这时才会有通解公式(2)；因此通解公式(2)的k必须要通过k=(x＋b/c)c/(d/m)^(n-1)，来求得才符合题意，由于m是d和a的最大公约数，如果我们设d/m=h, 那么便可最终得到k的取值公式；k=(xc+b)/h^(n-1)。（在一般情况下k≤c）
       4.4陈氏通解公式(2)的有解或无解条件的求证
       当a和d有公约数m时,无疑c也会有公约数m；此时的b,也应该用b/m 来表示, 且它必须是个正整数, 这也是公式有解的前提, 否则它们的原有的内在关系将不再存在。因此我们须将4.3小节中的求k等式: k=(xc+b)/(d/m)^(n-1)n-1 ,表述为：k=[x(c/m)+(b/m)]m/(d/m)^(n-1) 的，这种能使各个求解因素保持原有相互关系的形式。无疑在此等式中如果b/m不是一个正整数,则得不到符合题意的k, 通解公式(2)无解。如果b/m是一个正整数，则可得到正整数k, 此时通解公式(2)必定有解。
   
       5.结束语
文章在研究“水手分椰了”的简易计算方法这个问题上, 通过整体分析,得到了该题的极简易求解方法 y=an-d；它的出现，无疑将使该题的数十年的简易计算方法的研究, 从此画上了句号。但同时，我们通过它的扩展研究，又得到了整个这类问题的”“陈氏通解公式组”及完整的陈氏求解体系。且求解公式简易、易懂; 有解、无解条件明确,解决问题效率显著。从而在这类问题研究方面，又开辟一个广阔新的新天地。
                                                      
                                                                                                                        2018年 2月6日