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试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)]

发表于 2013-9-2 18:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

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发表于 2013-9-2 20:02 | 显示全部楼层

试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)] 为常数

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楼主| 发表于 2013-9-2 21:51 | 显示全部楼层

试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)] 为常数

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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楼主| 发表于 2013-9-4 23:20 | 显示全部楼层

试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)] 为常数

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发表于 2013-9-5 08:51 | 显示全部楼层

试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)] 为常数

新认识一位叫luyucheng1的数学老师.

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发表于 2013-9-5 10:04 | 显示全部楼层

试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)] 为常数

有更简洁的证法。
将原式-1=0视为x的二次方程，
不难验证x=a,x=b,x=c都是方程的根，
而二次方程只能有两个根，所以原式-1≡0
即原式≡1

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发表于 2013-9-5 10:10 | 显示全部楼层

试证(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)]+(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)]+(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)] 为常数

是啊，kanyikan 说的和陆老师最后一段本质相同。这个题目，是一个老题，我见过许多次了。

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