设 1998 层连分数 1+1/(1+1/(1+…+1/1)…)=m/n ，m,n 互质，求 m^2+mn-n^2

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyucheng1

分数链，结果m/n：1,2/1;2,3/2;3,5/3;4,8/5.........,分子为前一个分子与分母之和，分母为前一个分子。通式很难表达，m/n到27个分数链已经收敛于：1.618033989
，好像是一个无理数。1998条分数链，分子与分母就是互为质数，也是很大的数，用科学计数法到1475条已经溢出。此题咱解不出来了。希望看到此题的正确解。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luyucheng1 在 时添加 -=-=-=-=-
(m1998)^2+(m1998)(n1998)-(n1998)^2=(m1997-n1997)^2

moranhuishou

结果猜测：
m^2+mn-n^2=2mn ?
大概是一个836位的大数。
待证。

ccmmjj

提示一下，可以用斐波那契数列的通项公式解。n,m是前后两项。

moranhuishou

这个数列的关系为：
a_1=2
a_n=a_(n-1)*,1.618... (作四舍五入计算)
（1.618...为黄金分割常数）
得数列
2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，233,377,610,987，...
所以我们可以近似作a_1998  ~ 987*（1.618...）^(1998-14)~4.0522425151987755189921557703283e+417
也就是说，a_1998  大约是一个418位数。

moranhuishou

即
M=1.618…n
M^2+mn-n^2=(1.618…n)^2+ 1.618…n^2-n^2
=2.618…n^2+ 1.618…n^2-n^2
=3.236…n^2
=2*1.618…n^2
=2mn

moranhuishou

因为m=a_1998  大约是一个418位数,n=a_1997与m位数应该一样（或差一位），所以2mn应该大概是一位 935~936位的数。

luyuanhong

下面把这题的解答用 Fibonacci 数列的通项公式的形式表示出来：
22061414325626037937946718107805256863185524923323772339791620552556778038756012554479173000394062233248466558331496582928964749733658621451627076041102465508429767517406449690826830321074171706366255285788576576631965781477460171733216263532411158793743420445284144539678684745330226646009990242511504269934043355291893976567101557208659301942475322548930704795236743577257597022891214134410127229249939570818049737556598912652663479968164695792730542177304553323037186962108519152831515579377374645911122482689171740763925188802028913464554096798996423227466227775338793808534362505411774194145209926957548521123762344827872914865279488937868691517663630332259817810778156906534812160374494616819146473644512149681504521520986562640827985257932856175256881208461176308803232349210055809974806126828225345366713383727091917553022009249

moranhuishou

刚好418*2=836位（7楼笔误做936）。

luyucheng1

没有见到过陆老师给出的数列通项公式。