证明 1^2005+2^2005+3^2005+…+2004^2005 可被 1+2+3+…+2004 整除

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

数学归纳法证明：
1^2005+2^2005=1+2^2005=0(mod(1+2))
1+2^2005=1+2(mod(1+2+3))
…
假设
1+…+（n-1）^2005=0[mod(1+…+n-1)]
1+…+（n-1）^2005=(1+…+n-1) [mod(1+…+n-1+n)]
则显有
1+…+（n-1）^2005+n^2005=0[mod(1+…+n)]
1+…+（n-1）^2005+n^2005=(1+…+n) [mod(1+…+n+(n+1))]
毕。
原题不证自明。

moranhuishou

更简单些，仅需证明
1^2005+2^2005+...+2004^2005=K(1+...+2004)
即仅需证明
(1+2004^2005)*1002有因子(1+...+2004)
(1+2004^2005)有因子(1+...+2004)
而这是显然的，因为
(1+...+2004)=(1+2004)*1002
2005为奇数，必有
(1+2004^2005)=(1+2004)*K
证毕。

moranhuishou

这一步有误（非等差数列），待更正
2005为奇数，必有
(1+2004^2005)=(1+2004)*K

moranhuishou

ccmmjj

5楼的胡扯也敢放到这里来？放假前看到陆老师的论坛中有这东西，就一直不爽。只是我放假不上网规矩不能破，所以没去做题。我不知道为什么陆老师把这贴转过去？这实在丢我们数学的脸。
例如a1=a2=a3=1,a4=2那么a1+a2+a3+a4=7,a1^3+a2^3+a3^3+a4^3=11,7哪里整除11了？早上没空，下午我把解答贴出来。

moranhuishou

下面引用由ccmmjj在 2013/09/23 10:38am 发表的内容：
5楼的胡扯也敢放到这里来？

对错“兵家常事”，你胡扯的同样也很多，要不要给你晒晒？
你扯淡的很哪！

moranhuishou

下面引用由ccmmjj在 2013/09/23 10:38am 发表的内容：
5楼的胡扯也敢放到这里来？放假前看到陆老师的论坛中有这东西，就一直不爽。只是我放假不上网规矩不能破，所以没去做题。我不知道为什么陆老师把这贴转过去？这实在丢我们数学的脸。
例如a1=a2=a3=1,a4=2那么a1+ ...

我早就知道证明错误，但我懒得改了（无论对错，我一般不删帖的）。
你直到今天才知道，你差的远着呢！

数迷人

头号伪民科李金国(moranhuishou)，等你呢，哈哈...