空间几何中几个基础数据的公式

ataorj

空间几何中几个基础数据的公式
已知:见图,△ABC在平面XYZ上,P(P1,P2,P3)是坐标原点O到平面XYZ上的垂足,W(W1,W2,W3)是△ABC的外接圆⊙W的圆心。点X、Y、Z坐标依次分别是X(X,0,0),Y(0,Y,0),Z(0,0,Z)。
A、B、C坐标值已经完全确定了：A(A1,A2,A3),B(B1,B2,B3),C(X1,C2,C3)
求:
1 P1,P2,P3,W1,W2,W3,X,Y,Z,⊙W半径WB的计算公式;
2 ⊙W的方程式;
3 X、Y、Z和P(P1,P2,P3)的关系.
4 如果△ABC原来在平面OXY上(实际形状和大小不变),其三个顶点的平面坐标是什么?如何用X、Y、Z和(或)P(P1,P2,P3)描述△ABC怎样移动到现在的空间位置的?
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这些是解析几何范畴,但我知识欠缺,不想探索,只想在作图程序中利用较为现成的结果,所以提出来,希望有人提供答案,最好别使用向量等概念描述.先谢谢![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
C(X1,C2,C3)笔误,应为:
C(C1,C2,C3)

ataorj

图片:

luyuanhong

ataorj

谢谢陆老师增加了垂线方程和长度计算!这个也重要.也但愿大家完成主题中问题,谢谢!
这些数据涉及四点共面,三点画圆等基本问题,所以比较重要.
Mathematica应用垂线方程:
x0 = -5; y0 = 6; z0 = 9; ParametricPlot3D[{t/x0, t/y0, t/z0}, {t, 0, 2Pi}]

ataorj

另外,我当时提的第3条"3 X、Y、Z和P(P1,P2,P3)的关系."是想用于理解第4条.

ataorj

另外,下面公式也重要.我
1 用空间中两点间的距离公式AB=((A1-B1)^2+(A2-B2)^2+(A3-B3)^2)^0.5
和余弦定理公式BC^2=AB^2+CA^2-2*AB*CA*cosA,
计算出:[注:Sqrt是二次根号]
CosA= ((A1-B1)^2+(A2-B2)^2+(A3-B3)^2+(A1-C1)^2-(-B1+C1)^2+(A2-C2)^2-(-B2+C2)^2+(A3-C3)^2-(-B3+C3)^2)/(2*Sqrt[(A1-B1)^2+(A2-B2)^2+(A3-B3)^2]*Sqrt[(A1-C1)^2+(A2-C2)^2+(A3-C3)^2])
CosB= ((A1-B1)^2+(A2-B2)^2+(A3-B3)^2-(A1-C1)^2+(-B1+C1)^2-(A2-C2)^2+(-B2+C2)^2-(A3-C3)^2+(-B3+C3)^2)/(2*Sqrt[(A1-B1)^2+(A2-B2)^2+(A3-B3)^2]*Sqrt[(-B1+C1)^2+(-B2+C2)^2+(-B3+C3)^2])
CosC= (-(A1-B1)^2-(A2-B2)^2-(A3-B3)^2+(A1-C1)^2+(-B1+C1)^2+(A2-C2)^2+(-B2+C2)^2+(A3-C3)^2+(-B3+C3)^2)/(2*Sqrt[(A1-C1)^2+(A2-C2)^2+(A3-C3)^2]*Sqrt[(-B1+C1)^2+(-B2+C2)^2+(-B3+C3)^2])
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2 再用和角公式Cos(a+b)=CosaCosb-(1-(Cosa)^2)^(1/2)(1-(Cosb)^2)^(1/2),有
CosCAB=CosCAW*CosBAW-(1-(CosCAW)^2)^(1/2)(1-(CosBAW)^2)^(1/2)
CA^2=2CA*WB*CosCAW
AB^2=2AB*WB*CosBAW
计算出两组相反解,应该取消一组,以后吧:
⊙W半径WB=(-((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB^2)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])+(2*CosCAB*Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]-(Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA^2)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])/(-2+2*(CosCAB)^2)
CosBAW=(Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]
CosCAW=(Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]
相反解:
⊙W半径WB=((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB^2)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]-(2*CosCAB*Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]+(Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA^2)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])/(-2+2*(CosCAB)^2)
CosBAW=-((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])
CosCAW=-((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])
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这时,代入前面相关结果,就应该可以设法计算⊙W坐标和方程了,这又如何进行呢?

ataorj

说明:
1 主题一处笔误C(X1,C2,C3),应是C(C1,C2,C3)
2 图例上的点都在一个卦限内,所以我有3条细红线出局了,画错了.
3 CA=2*WB*CosCAW [由WC^2=CA^2+WA^2-2CA*WA*CosCAW(,而WB=WC=WA)得]
4 取消相反解[不当有负数解]:
⊙W半径WB=((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB^2)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]-(2*CosCAB*Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]+(Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA^2)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])/(-2+2*(CosCAB)^2)
CosBAW=-((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])
CosCAW=-((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2])
5 即便正确解中居然有虚数,比如Sqrt[-1+(CosCAB)^2],这应该是软件分割输出表示的问题.比如:
CosCAW=(Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*CA)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]
应该是CosCAW=CA*(Sqrt[(-1+(CosCAB)^2)/(-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2))
同样,
CosBAW=AB*(Sqrt[(-1+(CosCAB)^2)/(-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2))
⊙W半径WB的也一样,暂时不改正这个了.
6 化简也没考虑...

ataorj

还有,∠A,∠B,∠C等,取0时的情形在公式中也已经体现了,这些暂时不总结了.

luyuanhong

ataorj

再次谢谢陆教授!行列式,向量等以前学过一些,翻查书,感觉繁杂,就想绕开这些来推导一些结论.暂时不能全部看懂你的答案.我一般不想让人感觉丝毫的为难,所以不轻易直接具体提要求.稍后我充实下自己知识,但愿不向大家开口求助.
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正题:
1 前面修正时括号有误:CosCAW和CosBAW,这个先放下
2 我推导的外接圆的半径比较复杂,也许可以化简,原本计划求出CosCAW,就可很简单推导半径.但是求CosCAW中已经包含半径,所以直接出结果,也没多想.下面用CosCAW推导半径,应该简洁:
⊙W半径WB=(AB/2)/CosBAW=(((A1-B1)^2+(A2-B2)^2+(A3-B3)^2)^(1/2)/2)/(((Sqrt[-1+(CosCAB)^2]*AB)/Sqrt[-AB^2+2*CosCAB*AB*CA-CA^2]))
=(Sqrt[(A1 - B1)^2 + (A2 - B2)^2 + (A3 - B3)^2]*
   Sqrt[-AB^2 - CA^2 + 2*AB*CA*CosCAB])/
(2*AB*Sqrt[-1 + CosCAB^2])
=Sqrt[(A1 - B1)^2 + (A2 - B2)^2 + (A3 - B3)^2]/(2SinC)
比你多了/(2SinC),我再看看哪里错了...
3 接续前面思路:OP和△ABC继续保持垂直状态,平面OPZ交△ABC于直线PM,△PMO在平面OPZ上绕O旋转,使P停留在z轴上,平面ABC此时与平面OXY平行,垂直落到平面OXY上,可得到△ABC顶点的"初始平面"坐标,其意义是:保持形状大小方位的"真实状态",然后又逆向提升,再三方向旋转得到空间坐标方程.