【老话重谈】所有正整数相加是否还是正整数？即结果是否唯一？

awei

【老话重谈】所有正整数相加（或者相乘）是否还是正整数？即结果是否唯一？

elim

根据peano 公理，这种“运算”结果不是正整数。因为它大于任何正整数。

awei

elim 发表于 2018-4-12 10:34
根据peano 公理，这种“运算”结果不是正整数。因为它大于任何正整数。

老师的观点我并不认同，所有正整数相加的和，与任意一个无穷大正整数可以是相等的。各自取1，一一对应。

elim

awei 发表于 2018-4-12 06:31
老师的观点我并不认同，所有正整数相加的和，与任意一个无穷大正整数可以是相等的。各自取1，一一对应。
...

加法的结果总是得到被加数的若干代后继，不存在正整数，它是所有正整数的后继。所以这个和在peano 公理下不可能是正整数。当然，你可以任意定义和。但这种定义也与peano 公理相悖。以后继关系定义的加法是唯一的。

awei

皮亚诺自然数公理，只能对于有限大自然数。对于无穷大自然数就不灵验了，因为无穷大自然数和它的后继能相等，这是不可回避的。这让我想到了极限运算用到的一个符号∞，直到现在还不承认它是一个数，∞就像黑洞一样，有限数碰到它都会变成∞。只是觉得有意思没想和老师拌嘴，呵呵！

红树

正整数无限多，加不完，所有正整数相加等于正整数是不存在的

elim

没错，但目前还没有完全大自然数的公理。如果有，那么也不能和peano公理放在一起说事，它们将确定完全不同的东西。

....121212 - ...212121 = ... 90901
....212121 - ...121212 = ... 90909

两个数互相比对方大？ 还有其它矛盾，不说了。

elim

我的例子是想说明自然数系没有可能代数扩充成一个包含可用十进制表示的“无穷大正整数”的数系了。因为这种东西必然导致矛盾。

elim

elim 发表于 2018-4-13 06:56
我的例子是想说明自然数系没有可能代数扩充成一个包含可用十进制表示的“无穷大正整数”的数系了。因为这种 ...

APB 先生有一种说法：辩证法是普遍适用的，放之四海而皆准的。根据辩证法，既然有有限大自然数，就该有无穷大自然数。

这个当然没问题，说得详细一点可以这样，既然有合乎四则运算和后继法则的有限自然数系，就有违反这些法则的无穷大自然数系。现在的问题是，既然有说理的APB, 就有不讲理的APB, 我要跟哪个APB 讨论数学？