超级勾股定理

fuzhineng

众所周知两点的距离有如下的勾股定理
D^2 = Dx^2+Dy^2+Dz^2+……
这里Dx是两点在x轴上投影的距离，Dy是两点在y轴上的距离，……。A^2是指A的平方。
本人猜测空间三角形的面积S也有类似的勾股定理：
S^2 = Sxy^2+Sxz^2+Syx^2
这里Sxy是原三角形在xy平面投影的三角形面积，Sxz在是原三角形在xz平面投影的三角形面积，Syz在是原三角形在yz平面投影的三角形面积
如果讨论的是四维空间(x,y,z,w)，那么有：
S^2 = Sxy^2+Sxz^z+Sxw^2+Syz^2+Syw^2+Szw^2
进一步猜测四维空间中四个点的体积V也应该有如下勾股定理：
V^2 = Vxyz^2+Vxyw^2+Vxzw^2+Vyzw^2
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S^2 = Sxy^2+Sxz^z+Sxw^2+Syz^2+Syw^2+Szw^2
应该是
S^2 = Sxy^2+Sxz^2+Sxw^2+Syz^2+Syw^2+Szw^2

ccmmjj

空间三角形的面积S也有类似的勾股定理：
S^2 = Sxy^2+Sxz^2+Syx^2
这里Sxy是原三角形在xy平面投影的三角形面积，Sxz在是原三角形在xz平面投影的三角形面积，Syz在是原三角形在yz平面投影的三角形面积
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这个是已知的结论，很容易证明。可以将“三角形面积”改成“任意平面图形面积”。
证明的几个要点:
1；此平面图形所在平面在卦限中截出三角形。
2；证明此平面与三坐标平面所成之二面角A,B,C有(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1
3；此平面三角形面积与在其三坐标平面之射影关系有Sxy=ScosA,Sxz^=ScosB,Syx=ScosC
综合2；3得S^2 = Sxy^2+Sxz^2+Syx^2
4；考虑到平面投影之比例关系，即得(kS)^2 = (kSxy)^2+(kSxz)^2+(kSyx)^2其中k是任一比例常数。就证完了。
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如果讨论的是四维空间(x,y,z,w)，那么有：
S^2 = Sxy^2+Sxz^z+Sxw^2+Syz^2+Syw^2+Szw^2
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这是一定不对的。
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进一步猜测四维空间中四个点的体积V也应该有如下勾股定理：
V^2 = Vxyz^2+Vxyw^2+Vxzw^2+Vyzw^2
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这可能是正确的，我不想去分析。你可以问陆教授。它对n维空间单纯形的求和问题作过专门的研究，值得学习。