[求助]一个因式分解问题。

技术员

当n为奇数，X,Y为整数时
X^n+Y^n=(X+Y)*W,W为整数。
在X≠Y的情况下,W=（X+Y)*Z,Z为整数吗？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/18 10:36am 第 1 次编辑]

n 是奇数能分解，是偶数不行。

技术员

下面引用由天山草在 2013/09/18 10:17am 发表的内容：
n 是奇数能分解，是偶数不行。

我是设n为偶数。我是问Z是否可以为整数？

luyucheng1

命题相当于：在n为奇数，且X、Y为不相等的整数，则：(X^n+Y^n)可否被(X+Y)^2整除。
显然是不成立的，当n=1时，：(X^n+Y^n)/(X+Y)^2=1/(X+Y)；
                当n=3时，：(X+Y)(X^2-XY+Y^2)/(X+Y)^2=X^2-XY+Y^2)//(X+Y)；
       显然不能整除，Z不一定是整数！

技术员

下面引用由luyucheng1在 2013/09/18 00:47pm 发表的内容： 命题相当于：在n为奇数，且X、Y为不相等的整数，则：(X^n+Y^n)可否被(X+Y)^2整除。
显然是不成立的，当n=1时，：(X^n+Y^n)/(X+Y)^2=1/(X+Y)；
当n=3时，：(X+Y)(X^2-XY+Y^2)/(X+Y)^2=X^2- ...

当n>3时呢？有没有可能Z为整数？

luyucheng1

只有在X^n+Y^n分解成(X+Y)^m（且m 为偶数）时，才能成立。你看这样的解存在吗？这个式子就是费马定理的一个特殊形式。你能证明费马定理成立，这个式子也一定成立。我是不会的！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luyucheng1 在 时添加 -=-=-=-=-
你的式子是肯定不成立的！

技术员

下面引用由luyucheng1在 2013/09/18 02:47pm 发表的内容：
只有在X^n+Y^n分解成(X+Y)^m（且m 为偶数）时，才能成立。你看这样的解存在吗？这个式子就是费马定理的一个特殊形式。你能证明费马定理成立，这个式子也一定成立。我是不会的！-=-=-=-=- 以下内容由 luyucheng1  ...

我的要求你说的m=2即可，这好像和费马大定理无关。你的不成立的证据不充分。

luyucheng1

(X^n+Y^n)/(X+Y)^2要化成(X+Y)^m/(X+Y)^2（只有在m为偶数时）才可以完全约分，才为整数。姑且设X+Y=Z，你的式子变成：X^n+Y^n=Z^m，你看像什么？
你认为X^n+Y^n=(X+Y)^m（n为奇数，m为偶数）能成立？？？

技术员

下面引用由luyucheng1在 2013/09/18 06:11pm 发表的内容： (X^n+Y^n)/(X+Y)^2要化成(X+Y)^m/(X+Y)^2（只有在m为偶数时）才可以完全约分，才为整数。姑且设X+Y=Z，你的式子变成：X^n+Y^n=Z^m，你看像什么？
你认为X^n+Y^n=(X+Y)^m（n为奇数，m为偶数）能成立？？？

我只要求X^n+Y^n=(X+Y)^2*Z,Z为整数时成立。其中n为奇数的条件都是给了的。

技术员

下面引用由技术员在 2013/09/18 06:17pm 发表的内容：
我只要求X^n+Y^n=(X+Y)^2*Z,Z为整数时成立。其中n为奇数的条件都是给了的。

没有人能给出答案来吗？