能表示为 n=a+b+ab（n,a,b 为自然数），且不超过 100 的 n 共有几个？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

設 n,a,b 為自然數; 若 n=a+b+ab , 則稱 n 為 "好數 ", 若 n 不超過 100 ,
則屬於"好數 "的 n 共有幾個?

fungarwai

自然数包括0时
a=0,n=b≦100
b=0,1,...,100
101个
自然数不包括0时
a=1,n=2b+1≦100
b=3,5,...,99
奇数没了，考虑偶数
n=2(2k+1)b+2k
6b+2,10b+4,14b+6,18b+8,22b+10,26b+12,
30b+14,34b+16,38b+18,42b+20
42b+20剩下b=1项，以后只加6
74个

luyuanhong

谢谢楼上 fungarwai 的解答（但是看不大懂）。
我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

(a+1)(b+1)-1<=100 (a+1)(b+1)<=101 自然数不包括0时,是求101内合数 101内质数=PrimePi[101]=26 101-26-1=74 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=- 是求100内合数 100内质数=PrimePi[100]=25 100-25-1=74

ataorj

是求100内合数数量.
但是合数并非"好数",合数-1是[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
但是合数并非一定是"好数",合数-1是

ataorj

[这个贴子最后由ataorj在 2013/09/21 00:14pm 第 1 次编辑] n=(a+1)(b+1)-1<=100 (a+1)(b+1)<=101 自然数不包括0时,题目等于是求101内合数数量. 101内质数=PrimePi[101]=26,1也非合数 101-26-1=74,74即答案. ------------ 注:这些合数并非一定是"好数",合数-1才是

fungarwai

ataorj是对的

luyuanhong

谢谢楼上 ataorj 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

"rimePi[101]=26"放进标准答案中,应该不恰当.即便如下,也是没完整说明理由的:
对于101内的合数筛法,用101^0.5内的质数做筛法因子即可.这些因子是2,3,5,7.
101内,n数量在[101/2]-1+[101/3]-1+[101/5]-1+[101/7]-1=-4+50+33+20+14=113以内,其中,
[101/2]与[101/3]有[101/(2*3)]=16个重复了,
[101/2]与[101/5]有[101/(2*5)]=10个重复了,
[101/2]与[101/7]有[101/(2*7)]=7个重复了,
[101/3]与[101/5]有[101/(5*3)]=6个重复了,
[101/3]与[101/7]有[101/(7*3)]=4个重复了,
[101/5]与[101/7]有[101/(5*7)]=2个重复了,
则n数量在(113-16-10-7-6-4-2)=(113-45)=68个以上,刚才,
重复减了([101/(2*3*5)]*2+[101/(2*3*7)]*2)=10个,则n数量在68+10=78以下,刚才,(2*3*5)和(2*3*7)也有公共因子,重复加了[101/(2*3*7)]*2=4.
则原题答案是78-4=74