n 为正整数，试证 1/2≤1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)＜3/4

luyuanhong · 发表于 2013-9-21 17:41

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou · 发表于 2013-9-21 18:08

n=1, 1/2+1/3+1/4+...<3/4 ?

fungarwai · 发表于 2013-9-21 18:12

n=1,1/2
n=2,1/3+1/4
n=3,1/4+1/5+1/6

fungarwai · 发表于 2013-9-21 18:58

f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n f(n+1)-f(n)=[1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n+2)]-[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n] =1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)+1/(n+1)>0,f(n)单增 f(n)≧f(1)=1/2 f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n=(1+1/2+...+1/2n)-(1+1/2+...+1/n) =ln(2n)-ln(n)=ln2(n→∞) f(n)<3/4

luyucheng1 · 发表于 2013-9-21 22:17

luyuanhong · 发表于 2013-9-21 23:31

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
下面是我的另一种证法：

天山草 · 发表于 2013-9-22 10:18

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/22 11:05am 第 5 次编辑]

6 楼证明中最后一行的根据是什么，没看明白。
5 楼证明增函数时，不必算得那样复杂。
可否改成下面这样子：

luyuanhong · 发表于 2013-9-22 11:32

下面引用由天山草在 2013/09/22 10:18am 发表的内容：
6 楼证明中最后一行的根据是什么，没看明白。

在微积分中，大家熟知有这样一个结果：

1-1/2+1/3-1/4+… = ln2 。
当然，假如不知道有这样的结果，则还需要另外再推导一遍。

天山草 · 发表于 2013-9-22 12:04

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/22 05:18pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2013/09/22 11:32am 发表的内容：
在微积分中，大家熟知有这样一个结果：  
  1-1/2+1/3-1/4+… = ln2 。
当然，假如不知道有这样的结果，则还需要另外再推导一遍。

不是这个公式不明白。
如果证明中多写一些东西，就清楚了：

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n 为正整数，试证 1/2≤1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)＜3/4

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