空间坐标系和平面坐标系的转换

ataorj

空间坐标系和平面坐标系的转换
1 空间坐标系.如图,除原点和数轴上的射影黑点外的点都共一平面ABC;OP⊥该面;W是△ABC外接⊙心.Z,P,D共线;X,D,Y共线;余同.A,B,C坐标值确定了.
2 平面坐标系.在平面ABC上做辅助的平面坐标系,P是其原点,PD及其延长方向表示x';轴与其方向,PD过P的垂线是y';,其方向向右(因图中x';向下,x';方向逆时针旋转90°即y';方向,这与x和y关系一致).
3 研究坐标公式.以A为例,说明或直接提供空间A(A1,A2,A3)的A1,A2,A3转换为
平面A(a1,a2)的a1,a2时的各自具体公式.若必要,也请说明逆过程,比如,a1,a2形成A3时依赖的具体公式.
4 为充分全面且最大灵活性,中间若有重要环节也请最好提供.谢谢!

ataorj

1 平面坐标系x'y';其实是z';值取0时的一个空间坐标系,其z';轴方向向上.
2 而我们在空间作图,原始思路应该是:
首先做出初始平面图,即一个z';值相等的可做出的各点的平面图[指你在最容易实现的"正投影"平面上作图],连续做其他z';值时的这种平面图就构成"正投影"的空间体了.
其中,增加平移和旋转参数,就可转换成由目标坐标系描述的图形了.--这就是完整的空间作图过程.
显然,z';值是空间作图时在平面作图基础上需要的数据,这需要一个参数u或u参数方程[方程用于产生多个z';值以形成空间物体图],比平面多一个参数.
而平面仅一个参数即可[指平面图是随x';变化的y';的点图].
所以空间作图有两个参数:x';做平面图,z';累积它们成空间图.
外加平移和旋转参数于x';,z';,就可转换于目标坐标系中了.
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但是,也有如下的:
平面作图时提供点坐标x';和y';或x';和y';关于参数t的方程
空间作图时提供点坐标x';和y';和z';或关于参数t,u生成x';和y';和z';的三个方程
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这些表述比较直观,原始,灵活,容易理解,适合DIY.比如,别人丢给你一个图形方程,而你的作图程序只接受原始方法时...
坐标系及其变换方法公式有现成的.我还没自己去推导,主要围绕垂线打交道,应该不难,但是计算量大,而且怕自己不能完全化简等等,所以暂时放下了.
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下面谈点对平面的表示法的粗浅看法:
为何不完善为用P(P1,P2,P3)[见前面图]表示平面呢?
规定为当P与坐标原点O重合时,OP模增加非0的p后的P点坐标来表示平面不就完了吗.这时表示成比如P.p(P1,P2,P3).

ataorj

3 新旧坐标系的原点重合时称为坐标系旋转了:
新坐标轴OX,OY,OZ方向余弦分别是:
u1,m1,n1;
u2,m2.n2;
u3,m3,n3.
则有x=u1X+u2Y+u3Z;y=m1X+m2Y+m3Z;z=n1X+n2Y+n3Z

ataorj

更正:相应轴线平行(含重合)
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说明:考生们注意,这些加入了我的理解,不一定符合标准说法.
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4 显然,空间坐标系的转换实际是三个空间坐标系的参与,有两种步法:先平移后旋转或先旋转后平移,即:
x=u1(X+g)+u2(Y+h)+u3(Z+k);y=m1(X+g)+m2(Y+h)+m3(Z+k);z=n1(X+g)+n2(Y+h)+n3(Z+k)
x=u1X+u2Y+u3Z+g;y=m1X+m2Y+m3Z+h;z=n1X+n2Y+n3Z+k
先旋转后平移应该简易些.但是,不可能会是两种不同结果,所以有,x=u1(X+g)+u2(Y+h)+u3(Z+k)=u1X+u2Y+u3Z+g,则u1g+u2h+u3k=g,g=(u2h+u3k)/(1-u1),同理...
旋转使转正,平移使归位