求无穷级数之和 ∑(n=1,∞)sin(n)/n ，∑(n=1,∞)cos(n)/n

elim

elim

elim

∑_{n=1,∞} (sin(n)/n) =
1.07079632679489661923132169163975144209858469968755291048747
2296153908203143104499314017412671058533991074043256641153323
5469223047752911158626797040642405587251420513509692605527798
2231147447746519098221440548783296672306423782411689339158263
5600954572824283461730174305227163324106696803630124570636862
2935033031577940874407604604814146270458576821839462951800056
6526527441023326069207347597075580471652863518287979597654609
3058690966305896552559274037231189981374783675942876362445613
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8993047185138526960858814658837619233740923383470256600028406
3572631780413892885671378894804586818589360734220450612476715
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7990681488738565498025935360567499999918648902497552986586640
8048159297512229727673454151321261154126672342517630965594085
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7773436557978143194117689379687597889092889026608561340330650
0963938305597954608210099.........

∑_{n=1,∞} (cos(n)/n) =
0.04201950582536896172579838403790203712453892055703441769956
8889968568989915724771341146294727468446045238659558067241989
3299477490363489275487315287203544609536745711633050660047263
5435095629537005001941714477541516361986333437043149347703740
5952998773444662378497782033307873486193836793370260681636901
4070944871825802742343233030904426799163938674444814153709741
7008460257978557519160612233749069156490362950981895697186539
0991566793519365419548060461014157020570069432549489170511732
2410465837131041724935025327061228763466163428728782325099219
5369697854777510668802774078443836548041441224118444916394285
3214629417358055525206214582693694043586977841822800227332411
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109355193801787720469865658.........

luyuanhong

楼上 elim 的帖子和解答很好！已收藏。

elim

下面是略作修订的解. 我的解费解有以下几个原因:
1) 级数和公式的严格推导必须用到 Dilechlet 和 Abel 定理.
2) 我的解是更一般和更揭示本质的.
永远网友应该把  Dilechlet 和 Abel 定理 找出来, 弄懂它们在说什么以及怎么证明. 也应该弄懂我到底为什么要用到这些定理.

永远

方法二：转载网友的帖子

永远

方法三：转载网友的帖子

luyuanhong

楼上 永远 的转发的帖子很好！已收藏。

elim

下面是 Dilichlet 关于点积级数收敛的一个充分条件, 和 Abel 关于幂级数在其收敛圆边界上的行为的两个著名结果的证明.



永远6楼介绍的(题211)的解利用对数展开, 取 z=e^i 的作法, 其实就已经使用了这里介绍的 Dilichlet 和 Abel 定理. 这个公式在我的解中是被推导出来而不是直接引用的. 其实 永远现在有的微积分见识肯定已经超过数学本科的平均水平很多了. 真正缺少的是对很多基本原理,思想, 方法的把握. 但这恰恰是真正理解数学,真正具有独创性解决数学问题的能力的关键. 所以我贴出这两个定理及其证明. 我常常不抄现成的东西而是利用这种机会重新推导定理. 解题也一样, 重新思想有没有更揭示本质的解法. 这样可以帮助深化对数学的认识.  至于技巧, 多做习题多研究他人的工作就可以积累起来.

永远介绍的另一个解法应该说是 Fourier 分析的典型例子. 涉及的基础知识自然多一点,但很有趣.

从主贴的问题很自然想到 (e^(in))/n, 进一步简化就是 z^n/n 则自然想到 ∑z^n 是相应的导函数. 由此很正常得到原幂级数是 1/(1-z) 的原函数. 但这些结果仅当 |z| < 1 时是无条件成立的. 所以我们需要本贴的两个定理以便把结果尽可能地推广到收敛圆的边界上. 接下去的工作, 正如永远指出的, 那些平庸的运算变形过渡等等, 我就不太在意了. 太多的细节会掩盖关键和重要的东西: 思想, 方法, 本质...