数列 {a(n)} 满足 a(1)=√6，a(n)=√[6+a(n-1)]，证明 lim(n→∞)a(n) 存在并求其值

wintex

請問證明

xfhaoym

因为an=√6+a(n-1)
所以：an+1=√6+an
a1=√6
a2=√6+√6
a3=√6+√6+√6
.
.
.
.an=√6+√6+√6+.....√6
lim（n-∞）an=A
A=√6+√6+...........................√6(有无限多个）
设A=√6+...........................√6（从第二层起）
所以A=√6++A
A^2=6+A
A^2-A-6=0
解方程：A=(1+-√25)/2
A=3,或A=-2
舍去A=-2
A=3
由于√很短，看起来不方便。（可以证明这是递增数列）

永远

单调有界必有极限

天元酱菜院

1）此为递增序列。
    1.1） a(1)大于0， 对任意k>1, 若a(k-1)大于0，则a(k)=根号（6+a(k-1)）亦大于0，所以，序列每项均大于0
    1.2） a（2）=根号（6+根号6）显然大于（根号6）=a（1）
    1.3） 在 a(k)大于a(k-1) 条件下（其中，k为不小于2的自然数）
            考察   a(k+1) - a(k)  是否大于0
            待考察式乘以一个正数a(k+1)+a(k)不改变其正负性。
            待考察式变为 （a(k+1)）^2  - (a(k))^2 =6+a(k)  -  (6+a(k-1))=
           =  a(k) - a(k-1), 根据前述条件 其大于0
    可见，此为递增序列
2） 序列有上界3
     2.1） 根号6<3
     2.2） 若a(k) < 3   则 a(k+1) = 根号（6+a(k)）< 根号（6+3） =3   
     可见序列有上界3
所以，本序列有极限A
3）考虑  lim( (a(n) )^2 - a(n)) =A^2 -A
     左边展开，6+A-A =A^2-A ,或 A^2-A-6=0解出，A=3或-2，-2是增根舍弃，
本题极限是 3        
      

永远

我手边工科高数书上的例2

永远

哎！2018年的老帖 根号套貌似又开始了

永远

目前主帖网上主流公认的两种方法：1、单调有界数列必有极限   2、三角代换