袋中有 3 红球 2 白球，每次取出一球后放入同色的 6 个球，求第 n 次取出白球的概率

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/10/12 04:30pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

天山草

先理解题意：
假定 n = 2，
（1）第 1 次取，若取出的是白球，再放入 6 个白球。袋内有 3 红球，7 白球。则第 2 次取，取到白球的概率是 7/10；
（2）第 1 次取，若取出的是红球，再放入 6 个红球。袋内有 8 红球，2 白球。则第 2 次取，取到白球的概率是 2/10；
上述理解对否？

luyuanhong

天山草

噢，有点明白了，应该这样理解题意：
假定 n = 2，
（1）第 1 次取，若取出的是白球【取得白球的概率是 4/10】，再放入 6 个白球。此时袋内有 3 红球，7 白球。则第 2 次取，取到白球的概率是 7/10；
（2）第 1 次取，若取出的是红球【取得红球的概率是 6/10】，再放入 6 个红球。此时袋内有 8 红球，2 白球。则第 2 次取，取到白球的概率是 2/10；
综上所述，第二次取得白球的概率是：
  0.4 * 0.7 + 0.6 * 0.2 = 0.40,
也就是说跟第一次取到白球的概率是一样的。

luyuanhong

下面引用由天山草在 2013/10/13 02:05pm 发表的内容：
噢，有点明白了，应该这样理解题意：
假定 n = 2，
（1）第 1 次取，若取出的是白球【取得白球的概率是 4/10】，再放入 6 个白球。此时袋内有 3 红球，7 白球。则第 2 次取，取到白球的概率是 7/10；
（2）第 1 次取，若取出的是红球【取得红球的概率是 6/10】，再放入 6 个红球。此时袋内有 8 红球，2 白球。则第 2 次取，取到白球的概率是 2/10；
综上所述，第二次取得白球的概率是：
0.4 * 0.7 + 0.6 * 0.2 = 0.40,
也就是说跟第一次取到白球的概率是一样的。

对，楼上天山草的理解很正确。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/10/13 04:37pm 第 4 次编辑]


   袋中有 h 个红球，b 个白球。若第一次取出的是白球，则再放入 n 个白球；若第一次取出的是红球，则再放入 n 个红球。以后每次取球，都按上述规则。
   证明：每次取得白球的概率都相同，等于 b/（h+b），并且这个概率与 n 的多少没有关系。
   特别是，如果 n 等于零【每次取球后不放回，袋中的球越抽越少】，结论也是一样。
   我想起来了，在概率论的教材中，一般都有 n = 0 的例子。比如说，有 100 张彩票，其中只有一张能中奖。100 个人排队顺序抽奖。你愿意排在第一位最先抽奖，还是愿意排在最后一位抽奖？ 概率论告诉我们， 你排在任何位置，能抽到奖的概率都一样，都是百分之一。不过，在老百姓心目中，总认为排在前面更有利，都希望自己最先去抽奖。而排在最后面抽奖的那位，则认为自己是希望最小的，认为奖卷很可能早被前面的人抽走了。
   

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/10/13 05:31pm 第 1 次编辑]

楼上天山草的想法很好，这个结论确实可以推广到一般的情形：