关于正则化不完全β函数积分问题

VanJing

科研其中一小部分涉及到如图片问题，求该积分。运用数值计算方法显示应该是正确的，但是能够得到解析解吗？

注意：被积函数是正则化不完全β函数，所以可能需要点关于β函数基础，但是积分变量是u而不是x哦；

另外，该问题或许涉及合流超几何函数吧，希望数学大神帮忙解答。可有偿。