[原创]五猴分桃叫绝解法误导千百万学子

陈小刚陈小刚

[这个贴子最后由陈小刚陈小刚在 2014/01/03 07:45pm 第 24 次编辑]

            
             五猴分桃叫绝解法误导千百万学子   

   “五猴分桃问题”是非常著名的“水手分椰子问题”的简单变形。剧说,最早是由大物理学家狄拉克提出来的,  在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳和英国著名现代数理逻辑学家怀德海的介绍、推广后,该题得到了更为广泛的流传。1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。
     近十多年里，在研究这个问题的简易计算方法方面，也稍取得了一些进展。但是本人对其中有一种很有代表性的所谓: 借来4个桃子来解题的“叫绝解法”却不敢苟同,  该种解题方法先后被:《奥数网》《中学生数学》《中学数学》《中学生理科月刊》《中国知网》等多家谋体刊登和转载, 流传广  影响很大。但对其仔细分析后，则发现这种“叫绝解法”对求解这类题目有误导之嫌,  现对其错误分析如 下:   

     一，原题及叫绝解题方法：
     5 只猴摘了一堆桃子, 决定睡后再来分。过了一段时间，来了一只猴, 把桃子平均分5份，结果多出了1 个，就把多出的1个吃了, 拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5份，发现也多一个，同样吃了这1个，拿走了其中的 1份，第3，4，5只都是这样，......请问 5只猴至少摘了多少桃子？第5只猴子走后还剩多少个桃子？
     原解: 每次分5份后,多一个桃子, 实际就相当于少4个桃子。就借4个桃来分,设桃子共有X个，就成为X+4个,5个猴子分别拿了 A, B, C ,D, E个桃子。因此有:
     A=(X+4)/5
     B=4(X+4)/25
     C=16(X+4)/125　
     D=64(X+4)/625
     E=256(X+4)/3125
　  E为整数，所以X+4=3125K
　　当K=1时，X=3121
　　因此最少摘了3121个桃子。  然后容易算出最后至少剩余1020个桃子。
     二，对“叫绝解法”错误的分析
一般来说，对于数学题如果你发现一种解题方法，如果该方法思路是正确的，那么这种方法就可以用来解完全类似的数学题，否则那就可能是巧合，现在如果我们将原题目在不违背原题意的前提下，稍加改动,那么你就会发现：那种所谓(借几个来)的解题思路,  便会黔驴技穷、无法解题了, 其题目如下：
     例一, 6只猴摘了一堆桃子, 决定睡后再分。过了一段时间，来了一只猴，把桃子平均分6份，结果多出了4个，就把多出的4个吃了，拿走其中的2份。又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，也平均分成6份，发现也多4个，同样吃了4个,拿走了其中的二份。第3，4，5，6只都是这样，......问6只猴至少摘了多少桃子？第6只猴子走后还剩多少个桃子？
     按照原题的解题思路就是：因每次分都多四个桃子,6个人分的话，实际上可以理解为少了2个，那就要先借给它们2个再来分。
    依原解题思路最后有：X+2=46656K，当K=1时，X=46654，得到最至少摘了46654个桃子。按照这个答案根本没有办法照题意来分桃。
   
     例二，现在我们又假设原题目其他条件不变, 只是每次平分5份后多出的是 2个桃子，按照“叫绝解法”思路就  是：多二个桃子就相当于少了三个桃子，就要借三个桃子，根据原题意有A=(X+3)/5
     B=4(X+3)/25
     C=16(X+3)/125　
     D=64(X+3)/625
     E=256(X+3)/3125
     E为整数，所以X+3=3125K
　　当K=1时，X=3122
　　     
     三，揭开借来四个桃子中的“四”的真实面目                                 
     现在我用数学推理和演算的方法，来看看这个“借四个桃子”的方法为何能碰巧能解这个题目的
     如果我们设：
     y── 被分的某东西的总个数，
     a── 每次分的总份数(一般情况下，是总人数)，
     n── 总共分的次数，
     c── 分a份后拿走的份数，  
     b── 每次分a份后的余数，
     d── 每次分a份拿走c份后剩下再分的份数，
     通过演算我推导，后我们可以得到这，这种类型题目的简易通解公式: y=a的n次方-db/c 。当公式中的 b/c 为非零的自然数时，公式必定有解 （其推导详细过程见本人博客，搜索：中国湖南祁阳陈小刚）和这个通解公式三种特殊形式，即：
     (1)当式中的c等于1时, 简易通解公式可写成特殊简化形式: y=a的n次方-d。
     (2)当式中的c和b都等于1时,简易通解公式可写成特殊简化形式:y=a的n次方-d
     (3)当出现（a/d)有公约数这种特殊情况时，这时的 y值还有比“简易通解公式”的解值更小的解题公式，即 y=a(a/m）n-1－db/c  (m是a/d最大公约数)
     在《五猴分桃》一题中：由于(c=1，b=1）因而它正好属于公上面y=an-d的类型，由此可见《五猴分桃》一题，在这个简易通解公式里，是计算最为简单的一个类型。                                                     
     现在我们用通解公式与叫绝解法进行对比分析，就可以看出X+4=3125K中的4, 实际上是巧合了公式的特殊形式：y=a的n次方-d 中的d，而这个d实颀上是每次分a份拿走c份后, 剩下再分的份数（在“五猴分桃”一题里, d也等于4)。决不可能这个“d”又能同时象变戏法一样，变成了什么，总数被五除多了一个，就是少了4个的“4”。
   
     现在，我们如果根据简易通解公式 y=a^n-db/c 来解题的话, 就能非常容易的得到：例一题的答案是 y=6^6－4×4/2=46648, 由于该题的a/d有公约数2,故可用y=a(a/m）^(n-1)－db/c求得更小解: y=1450。 例二题的答案是 y=5^5－4×2= 3117。同时，如果你稍作分析，便会发现, 这个正确的结果又反过来说明：所谓的借几个桃子来解题的“叫绝解法”，只不过是一个误人子弟的巧合合                                                                                                                                                                                                                                                  中国湖南祁阳陈小刚

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fungarwai

我没有理解错的话，这个只是一般的递推数列问题。
但我在例1中算到了别的东西，请看看哪里出了问题。
T(n+1)=2[T(n)-4]/3
T(7)=[(2/3)^6][T(1)+8]-8
T(1)=721
T(7)=56

fungarwai

T(n+1)=(d/a)T(n)-db/a
T(n+1)=[(d/a)^n][T(1)+db/c]-db/c
表面上a^n=y+db/c，若d与a不互质，情况就不一样。

陈小刚陈小刚

[这个贴子最后由陈小刚陈小刚在 2014/03/08 11:44pm 第 17 次编辑]

     哦你好，这里我很少看，看来我们会经常在一起，这个问题提得很好，我好象在另一个地方有回复：求最小解本可用 y=a(a/m)^(n-1)－db/c这个公式，正好可发表给大家看一看：

    本人已经在要本在10月初对求解体系作了修改，(原主公式作为副公式)调整后的求解体系为：
  一，五猴分桃类型题简易通解公式
  简易通解公式1.y=a(a/m)^(n-1)－db/c
  简易通解公式2.y=[ka(a/m)n-1-db]/c,(
  其中:                  
y ── 被分的桃子的总个数
n ── 总共分的次数（可为任意数）
a ── 每次分的份数, （可为任意数）
b ── 每次分a份后的余数.
c ── 每次分a份后拿走的份数,
d ── 每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.
m —— (a/d)的最大公约数
    注：
   （a）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、m、都为正整数、其中：n大于等于2。
   （b）对于公式(1)，若b/c为正整数,则通解公必定会有解。若b/c不是一个正整数,则用通解公式(2)求解,
    (c）对于公式(2)，若b/m为正整数,则通解公必定会有解。若b/m不是一个正整数,则通解公式(2)无解。
   （d）解公式（2）中的k，可通过求k公式:  k=(fc+b)(m/d)n-1而得到, (试中k大于等于0, f 是能使k取整的自然数, 在一般情况下, k会小于=c),然后再将k值代进公式2, 便可很容易的直接得到解。