ccmmjj 新年第一题－正三角形的证明不简单

谢芝灵

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本帖最后由 谢芝灵 于 2018-4-26 23:58 编辑


证明：
因为 ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ
分析（一）由：F→A；D→B；E→C
  
得：FA两点重合；DB两点重合；EC两点重合。
有 △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
分析（二）由：F→B；D→C；E→A
  
令：AB≥BC≥CA
由于CA可能最短，得 E、A两点重合时，FB≥0；DC≥0
若FB＞0，
  
得：ＢＤ＝ＣA＝ＡＦ=FD
在△FBD中，ＢＤ=FD，∠B=∠BFD=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在FB≥0中只能取 FB=0，既 F、B两点也重合（见下图）。
此时，若 DC＞0
  
同理得：在△ADC中，AD=AC，∠C=∠ADC=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在DC≥0中只能取 DC=0，既 D、C两点也重合。
得： △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
上面所有作图变化示意：



证毕！

谢芝灵

这个证明 只证明了两个正三角形连环套。

把里面换成Rt△就不能证明了。因为是利用了n条边相等原理排除三角形内角和大于180度的情况。
之后必得三个顶点顺逆方向都重合。

wangyangke

风花飘飘 :用正五边形或正七边形证证看，把你的这个能耐发挥到极致，显示飘飘手段，如何?

红树

7等分圆，解决了，好强大

wangyangke

风花飘飘 :你那是乱弹琴；让你证ccmmjj老师题目的正五边形、正七边形，，，，的情形

谢芝灵

证明：
因为 ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ
分析（一）由：F→A；D→B；E→C
  
得：FA两点重合；DB两点重合；EC两点重合。
有 △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
分析（二）由：F→B；D→C；E→A
  
令：AB≥BC≥CA
由于CA可能最短，得 E、A两点重合时，FB≥0；DC≥0
若FB＞0，
   
得：ＢＤ＝ＣA＝ＡＦ=FD
在△FBD中，ＢＤ=FD，∠B=∠BFD=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在FB≥0中只能取 FB=0，既 F、B两点也重合。
此时，若 DC＞0
   
同理得：在△ADC中，AD=AC，∠C=∠ADC=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在DC≥0中只能取 DC=0，既 D、C两点也重合。
得： △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。

Ysu2008

我们知道三点移动过去会重合，现在就是要证明移动过去还是保持正三角不变。