四面体 ABCD 中，AB=5,BC=8,CD=11,DA=10,AC=9,BD=12，ABC面与ACD面夹角 θ，求 cosθ

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

liangchuxu

图画的不太准确，垂足F应该在DE连线外侧，仅作参考。

luyuanhong

谢谢楼上 liangchuxu 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

波斯猫猫

如果∠BED=θ，则△BEC和△CED都是直角三角形。在前者中，由BE=4√11/3，BC=8易算得EC=20/3；在后者中，有EC＾2+DE＾2=（20/3）＾2+（20√2/3）＾2=400/3≠121=11＾2。故∠BED不是其平面角θ。
注：不过在作BF⊥平面ACD于F后，可考虑作BE⊥AC于E，连FE,FA、FC、FD等，并结合一系列的直角三角形和已知条件，通过解方程组求出FE和BE即可（∠BEF=θ）。没有复核，仅供参考。

liangchuxu

楼上所指，很好。当时没仔细琢磨，四面体的底面三角形垂心不在三点连线上。谢谢。

波斯猫猫

经考察，△BAD是钝角三角形，故BF⊥平面ACD的垂足F在△ACD外。作BE⊥AC于E，连FE、FA，作BG⊥DA于G（G在DA的延长线上），连接FG。故∠BEF的补角就是ABC面与ACD面所成的角 θ。易算得cos∠CAD=1/3，AE=a=7/3，AG=b=19/20。在四边形AEFG中，cosα=a/AF，cosβ=b/AF，由此表出sinα、sinβ。α+β=π-∠CAD。用和角的余弦易算出AF的近似值，从而可算出EF的值，问题得到解决。未复核，仅供参考。