关于最大交换次数的辨论

雷明85639720

关于最大交换次数的辨论
雷  明
（二○一九年八月二十九日）
（图我在这里发不上来，请到＜中国博士网＞中去看）

8月20日，我发表了《请张彧典先生回答一个问题》的博文如下：
张先生，任何一个构形都是可以施行两个方向的“颠倒”的。那么对一个构形进行了第n次顺时针颠倒后的构形，再施行逆时针颠倒，最后达到解决问题时，其颠倒的次数一定是大于分别向两个方向颠倒的次数的，至少是要大于逆时针方向的颠倒次数的。请问，你的十五种Z—构形，最大的逆时针颠倒次数是16，你能保证这十五个Z—构形顺时针颠倒时某一次颠倒的对果，再施逆时针颠倒时的颠倒次数不会大于16吗，你证明了吗？
我正是考虑了这一点才证明了颠倒总次数不大于42次的上界的。这是有理论根据的。不过我现在还在考虑这个上界是不还可以向下降低的问题。但决不会降低到16。
雷  明
二○一九年八月二十日于长安

8月24日张先生回复：
雷明先生：
你问我：你的十五种Z—构形，最大的逆时针颠倒次数是16，你能保证这十五个Z—构形顺时针颠倒时某一次颠倒的结果，再施逆时针颠倒时的颠倒次数不会大于16吗，你证明了吗？
这个问题问得好，我的实践证明是：
对我的Z1--Z15分别施行顺时针H-染色程序时，颠倒染色的次数从2次到16次排列的构形顺序恰好是Z15----Z1,与逆时针颠倒染色的构形排列顺序相反。这样的逆（顺）时针的构形排列循环恰好证明了我的构形集合的完备性。
至于你给出的颠倒次数大于16次的构形，可以从顺时针方向施行H-染色程序解决，不会大于16次。比如你的那个颠倒22次的构形，当施行顺时针H-染色程序时，只要2次就可以了。
施行 逆（顺）时针H-染色程序时呈现出的构形排列的正反向循环性进一步证明了：我在《四色猜想的创新证明》中得到的定理3所说的“有限次”的最大值就是16次。

8月24日我回复：
张先生：
1、你的Z1到Z15的逆时针颠倒次数是2到16。
2、你的Z1到Z15的顺时针颠倒次数也是2到16。
3、说明每一个Z构形逆、顺时针颠倒的次数之和是18。
4、说明你所实践着色过的这十五个Z构形的最大颠倒次数的是18－2＝16。
5、但是你证明没有证明任意的Z构形最大的颠倒次数是多少次呢？
6、是的，我给出的逆时针颠倒次数为22次的构形，是可以顺时针颠倒两次可以解决的
7、但遇到了这样的构形后，我问你，是先进行那个方向的颠倒呢？
8、你若先从逆时针方向开始，显然颠倒次数是要大于16次的。
9、到了第16次颠倒还解决不了问题，你是否就不再进行下去了呢？
10、若进行下去，显然就违背了你自已的最大颠倒次数是16 的界限。
11、若不进行下去，是不是还要进行一下顺时针颠倒的尝试呢？
12、若进行了，那当然是一定会成功的。
13、若不进行，你该怎么办呢？
14、象这样的颠倒次数大于16的构形，一定是还会有的。
15、你是不是每遇到一个构形，都要先进行逆时针颠倒，在第16次颠倒解决不了问题时，又改用顺时针颠倒呢？如果这时在第16次颠倒后还解决不了问题时，你又该怎么办呢？
16、这不太的麻烦了吗？
17、我我已从理论上证明了最大的颠倒次数不大于42次。
18、遇到一个构形时，无论进行那种颠倒，你就直接进行下去就行了，一定会在第42次颠倒之前解决问题的。
19、这不比你的方法方便多了吗
20、请张先生想想，我说得是否有道理！

8月25日张先生又回复：
1、感谢您的提问！
2、为什么我的15个非十折对称变换组成的构形在施行顺时针、逆时针两个对称的H染色程序时，次数的递增与构形排列的顺序正好方向相反呢？这是因为以Z8为中心形成等距离的两个构形中变换的对角链呈现左右对称：
Z1与Z15，Z2与Z14，Z3与Z13，。。。
3、因为有定理3，所以对于所有非十折对称几何结构的构形，施行H-染色程序一定可约，有这个理论判断就够了，还用具体操作干什么？这就是《四色猜想的创新证明》的最大创新之处。
4、您的最大颠倒次数42的证明正确吗？
看看你的证明：
任何一个非E—图构形两个方向的转型，一定要在第20次转型（包括第20次）之内，转化成一个可以连续的移去两个同色的K—构形。这样在两个20次之间就是41个非E—图类构形，所有的这些构形无论是向那个方向转型，一定是会在40次转型之内转化成可以连续的移去两个同色的K—构形。再进行两次空出颜色的交换，就可空出两个同色给待着色顶点。所以任何非E—图类构形转型交换的总共交换次数是不会大于42次的。
我看您的证明没有说服力：在两个20次之间就是41个非E—图类构形，这样的论述正确吗？

8月25我又回复：
老张朋友：
1.看来我昨天的贴子还是起了一定的作用。
2.我的最大颠倒次数是42的证明是有理论根据的。
3.其根据就是E—图的循环颠倒周期是20。
4.既已把构形分成了E—图构形和非E—图构形，那么其主要的差别就应是颠倒次数的不同。
5.E—图是无穷循环颠倒的，非E—图则应是有限次颠倒的。
6.E—图向两个方向颠倒都是以每20次颠倒为一个周期，那么非E—图构形向两个方向颠倒时，也都必须在第20次颠倒之前，变成可以连续的移去两个同色的K—构形。
7.两个20次（包括第20次）之间一共是41个构形，其中两个第20次都是K—构形，剩下只有39个H—构形。
8.这39个H—构形无论向那个方向颠倒，一定是在40次颠倒之内（包括第40次）就变成了可以连续的移去两个同色的K—构形。否则图将就是一个无穷循环颠倒的E—图构形。
9.这个可以连续的移去两个同色的K—构形，还要进行两次交换，才能空出颜色来给待着色顶点。总共是不大于42次颠倒的。
10.非E—图构形的最大交换（颠倒）次数是42就是这样得来的。这是绝对的理论上的最大值。完全不是从对个别图的颠倒实践中得来的。
11.你的16次最大值，只是从对E—图的改动中所得到的非E—图构形得出的，是偏面的，不能代表任意的非E—图构形。所以你
16不是理论上的最大值。
12.你既已得出最大颠倒次数是16次，却又承认我构造的颠倒次数是22次的构形的确是需要颠倒22次的，这不是自已又在否定自已吗？
13.实话给你老张说，我只所以要构造这个需要颠倒22次的构形，目的就是要否定你的最大颠倒次数是16的结论的。因为我没有看到你从理论上对这个最大颠倒次数是16进行的证明。
14.老张你回顾一下，从你的《探秘》书开始，你的构形集已经变化了多少次了，有那一次你认真的从理论上对你的构形集进行过证明呢，你的那一个构形集不都是在发现了别的不可免构形时，再一步一步的添上去的呢？这什么时候才是个头呢？
15.朋友，我认为我们的认识上的差距越来越小了，我已经看到了我们的看法能够统一的署光了。

8月26日我又回复：
老张朋友：
1、若一个H—构形的逆时针颠倒次数是X，顺时针颠倒次数是Y，则有X≤42，Y≤42和X＋Y≤42的关系。
2、这就是由一个已知颠倒次数的构形，构造一个颠倒次数不大于42次的构形的原理，但一定不会构造出颠倒次数大于42次的构形来。
3、我以前所构造的需要10次颠倒，需要16次颠倒，以及近期又构造的几个颠倒次数在20次以上的构形，都是在这一原理的指导下构造出来的。并不是随便画的。并且都是在你所给出的图的基础上构造出来的。
4、我的确还没有你能构造（画出）出来没有规律的八大构形的本事，要我画，我是画不出来的。八大构形的前三个还是有一定的规律的，但后边的就没有规律了。
5、要说有本事，还是敢峰先生有本事。他能想出来用演绎的方法构造出E—图，真是不简单。他不但构造出了E—图，而且独立的解决了E—图的4—着色问题，不能说不是顶尖的。
6、E—图是客观上就存在的，只是有没有发现的问题，发现的迟早的问题。虽然而921年A•Errera给出了（发现了）E—图，但不知是怎么发现的（怎么构造的）。他只给出了图，并没有解该图的4—着色的问题。
7、1935年Kittell对E—图进行了研究，解决了其4—着色的问题，应是解决E—图4—着色的第一人。方法与我们现在对E—进行4—着色的方法是相同的。
8、1992年米勒也给出了E—图，但却不明白她是怎么构造出来的。米勒却不能解决该图的4—着色的问题。
9、1992年敢峰不但独立的给出了E—图，并且独立的对该图进行了4—着色。
10、2010年张彧典先生在米勒构造的E—图的基础上，也独立的对该图进行了4—着色。
11、除去时间先后的因素外，不能不说敢峰先生是走在了前列的。
12、A•Errera虽给出了E—图，但没对其进行有4—着色；Kittell虽对E—图进行了4—着色，但E—图却不是他构造出来的；米勒虽构造了E—图，但却也不能对其4—着色；张彧典先生虽能对其4—着色，但图并不是他自已构造出来的；只有敢峰先生既独立的构造了E—图，又能对其进行4—着色。不能说敢峰先生不是走在了前列的。
13、解决E—图4—着色的方法，也只有一种，就是交换A—B环形链内、外的任一条C—D链，使图先变成K—构形。Kittell，敢峰，张彧典多人都是找到了同一个方法。
14、E—图只是众多的平面图中的一个，对它的4—着色不能代替对四色猜测的证明，正象我们虽然都能对赫渥特图进行4—着色，但还在寻求证明四色猜测的道路一样。
15、敢峰先生的这种想法是不对的，他把他构造的E—图叫做终极图也是不对的。我始终体会不到他的“终极”二字的意义来。

8月26日我又回复：
老张朋友：
赶快从一个个别的米勒图中跳出来吧！要看到任意的图，你就会眼前豁然开很朗的！你多少年来，就钻在了一个米勒图中，始终没有能看到任意图的大世界！

8月28日张先生又单独发文《〈四色猜想的创新证明〉引发的猜想》一文如下：
我们在《四色猜想的创新证明》一文中，继承了《一种试探式的平面图4染色》一文中的引理3.1，利用我们找到的埃雷拉一族（4个）构形周期循环的主要因素，把引理3.1发展为引理3.1’；再利用在埃雷拉一族（4个）构形中变换所有四色四边形对角链所归纳得到的15个非十折对称几何结构构形的可约，又把引理3.1’上升为定理3，得出“在所有非十折对称几何结构的染色困局构形中施行H染色程序时，经过有限次逆（或顺）时针颠倒染色可约”的理论证明。实现了清华大学四色问题专家林翠琴教授“只要能够证明颠倒染色有限次就可以给染色困局正确4-染色就够了”的判断，从而完成了四色猜想的简短人工证明。
我们的论文在汉斯出版社杂志《运筹与模糊学》（9卷1期）发表以后，雷明先生认为，颠倒染色次数的有限性应该有一个上限值，同时给出几个不同的的上限值，最新的也是最大的为42次。这就是《四色猜想的创新证明》引发的雷明猜想。
虽然提出这样的上限值已经没有意义，但是也可以探讨一下。
我们认为，这个上限值的猜想应该为：
对于非十折对称染色困局构形施行H染色程序时颠倒染色超不过40次即可约。
证明：
我们把Z1------Z15搬过来（得组图1）。
从上面图组1不难看出，H染色程序具有左右对称性，15个构形以Z8为对称轴，两边等距离的两个构形中变换的对角链（粗黑色链）的位置呈现左右对称性，如Z1与Z15，Z2与Z14，。。。粗黑色链，正是由于染色程序与构形位置的左右对称性，形成颠倒染色次数的正反周期循环性。
图组1
我们可以用反证法证明这个结论的正确性。
从《四色猜想的创新证明》已经知道，H-M族（即埃雷拉构形族）中4个同胎构形，当对它们施行周期循环（4次一个循环节）的H染色程序20次（5个循环节），就会使得任何一个H-M构形发生一次大循环。其特征是：
1、十折对称的几何结构顺时针（施行逆时针H染色程序）或者逆时针（施行顺时针H染色程序）旋转720度回到初始位置；
2、色图也随之还原成初始位置时的染色。这样的大循环以20次颠倒染色为一个最小周期。
现在假设任何一个非十折对称的几何结构的构形也具备这样的大循环特征，即同时满足以上两个条件，那么，这些构形既可以是十折对称几何结构的，也可以是非十折对称几何结构的，显然与《四色猜想的创新证明》中的实践结果互相矛盾，所以假设不能成立。
对于任何一个非十折对称几何结构的染色困局构形，当施行H染色程序时，满足两个特征的情形决不可能发生。这个结论可以从雷明先生所构造的颠倒染色21次、22次、25次等构形得到证实。比如颠倒25次的构形，如图2所示：
（1）
图2（1）中，红色的C-D链替换了A-B链，破坏了构形初始染色，这时在蓝色的A-D主链之间又生成一条支链（蓝色虚线），这样在施行H染色程序时就有了两种不同的选择，两种不同的染色结果，雷明先生就是选择支链时形成颠倒染色25次才可约的结果。
（2）
  图2
图2（2）就是雷明先生颠倒染色20次以后的染色结果，在颠倒20次染色以后，第一个特征具备了的，第二个特征却丧失了：蓝色A-D主链没有变化，但是支链没有了，红色C-D链改变了位置，即粉红色圆圈两个点的染色发生了变化，由图（1）中的A、C变成C、B，所以对图（2）再施行H染色程序，一定不会超过20次就可约了。
因此，对于非十折对称的染色困局构形，施行H染色程序时，颠倒染色次数小于40次即可约。

8月28日我回复：
老张朋友：
1、终于看到你又向前进了一步。
2、我粗看了一下，没有细看，看后再与你讨论。
3、你说的“对于非十折对称的染色困局构形，施行H染色程序时，颠倒染色次数小于40次即可约”与“对于非十折对称的染色困局构形，施行H染色程序时，颠倒染色次数不超过40次即可约”的说法实质上是等价的。
4、这两种说法都同样是包含着你单从改变E—图的某些四边形的对角线而得到的一些个别的非E—图构形最大颠倒次数是16在内的。
5、就因为我说了一个最大次数是42或不超过42，你就要说一个颠倒次数小于40次即可约，这没有实质上的区别，都是同一个意思。没有必要在用词上这样的玩游戏。
6、至于是40次，还是42次，我仔细看了你的文章后，我们再讨论。因为你说的两个条件以及图2的两个图那里我还没有看明白是怎么回事呢。

8月29日我又回复：
张先生：
1、你文中说“再利用在埃雷拉一族（4个）构形中变换所有四色四边形对角链所归纳得到的15个非十折对称几何结构构形的可约，又把引理3.1’上升为定理3，得出‘在所有非十折对称几何结构的染色困局构形中施行H染色程序时，经过有限次逆（或顺）时针颠倒染色可约’的理论证明。”这错话是错误的。怎么能用把从一个个别的图得出结论说成是对所有非E—图构形都是适用的呢？亏你还能这样光而化之的说了出来，一点也不隐匿。
2、你接着说：“实现了清华大学四色问题专家林翠琴教授‘只要能够证明颠倒染色有限次就可以给染色困局正确4-染色就够了’的判断，从而完成了四色猜想的简短人工证明。”上面1中的话错了，这后面2中的结论，当然也就不能成立了。
3、你接着又说：“我们的论文在汉斯出版社杂志《运筹与模糊学》（9卷1期）发表以后，雷明先生认为，颠倒染色次数的有限性应该有一个上限值，同时给出几个不同的的上限值，最新的也是最大的为42次。这就是《四色猜想的创新证明》引发的雷明猜想。”我认为这不是“猜想”，而是从理论上进行的理论证明所得出的正确结论。
4、你接着又说：“虽然提出这样的上限值已经没有意义，但是也可以探讨一下。我们认为，这个上限值的猜想应该为：对于非十折对称染色困局构形施行H染色程序时颠倒染色超不过40次即可约。”既然找“上限值”已没有意义，你还“探讨”什么呢？你提出的颠倒不超过40次与我证明的42次不是越来越近了吗？还不也都是大于你的16次吗？
5、你又说：“从上面图组1不难看出，H染色程序具有左右对称性，15个构形以Z8为对称轴，两边等距离的两个构形中变换的对角链（粗黑色链）的位置呈现左右对称性，如Z1与Z15，Z2与Z14，。。。粗黑色链，正是由于染色程序与构形位置的左右对称性，形成颠倒染色次数的正反周期循环性。”这又是在凑合嘛！这些构形的左右不同与其颠倒次数的多少又有什么关系呢？凑得再完美，这十五个构形无论是进行那个方向的颠倒，颠倒的次数都是没有超过16的，这还不是与你在开头说的一样吗？不也还是从对个别图的颠倒操作中得到的结论吗？它是不能代表一般的！
6、上段话其中的“正是由于染色程序与构形位置的左右对称性，形成颠倒染色次数的正反周期循环性。”一句更是在硬凑合。这十五个构形从颠倒次数上讲，对于Z8来说，肯定不是左右对称的；从构形位置（即改变E—图对角线的位置）上来说，虽是左右对称的，可这不同的构形左右对称不对称，与他们的最大颠倒次数的“上限值”又有什么联系呢？它们的最大颠倒次数能代表任意构形的最大颠倒次数吗？
7、你说“1、十折对称的几何结构顺时针（施行逆时针H染色程序）或者逆时针（施行顺时针H染色程序）旋转720度回到初始位置”。这“旋转720度回到初始位置”是什么意思呢？第一次转型峰点位置转动144度，20次转型（颠倒）则是2880度，这明明是转动了8个360度呀，你为什么说是720度（两个别60度）呢？这不是又在与你的8次颠倒一个大循环硬往一起凑吗？
8、你接着说“2、色图也随之还原成初始位置时的染色。这样的大循环以20次颠倒染色为一个最小周期。”循环周期还有大小之分吗？不要总是抛弃不了你那个“四次小循环，八次大循环”的论调了，应该就是20次颠倒是一个循环周期。
9、你的反证法“现在假设任何一个非十折对称的几何结构的构形也具备这样的大循环特征，即同时满足以上两个条件，那么，这些构形既可以是十折对称几何结构的，也可以是非十折对称几何结构的，显然与《四色猜想的创新证明》中的实践结果互相矛盾，所以假设不能成立。”以及“对于任何一个非十折对称几何结构的染色困局构形，当施行H染色程序时，满足两个特征的情形决不可能发生。这个结论可以从雷明先生所构造的颠倒染色21次、22次、25次等构形得到证实。”现在你的认识就正确了。
10、你说：“比如颠倒25次的构形，如图2所示：图2（1）中，红色的C-D链替换了A-B链，破坏了构形初始染色，这时在蓝色的A-D主链之间又生成一条支链（蓝色虚线），这样在施行H染色程序时就有了两种不同的选择，两种不同的染色结果，雷明先生就是选择支链时形成颠倒染色25次才可约的结果。”这也说正确了，但你在“红色的C-D链替换了A-B链，破坏了构形初始染色”中的“初始染色”是指你什么呢？我还不明白。我的构形与初始染色本来就是这样的，没有什么别的“初始染色”呀。
11、你说的“图2（2）就是雷明先生颠倒染色20次以后的染色结果，在颠倒20次染色以后，第一个特征具备了的，第二个特征却丧失了：蓝色A-D主链没有变化，但是支链没有了，红色C-D链改变了位置，即粉红色圆圈两个点的染色发生了变化，由图（1）中的A、C变成C、B，所以对图（2）再施行H染色程序，一定不会超过20次就可约了。”完全说对了。谢谢你的评论！
12、你最后说：“因此，对于非十折对称的染色困局构形，施行H染色程序时，颠倒染色次数小于40次即可约。”这个说法，可以说“对”，也可以说“不对”。说对是因为颠倒40次时，得到的图仍是一个构形，是可以连续的移去两个同色的可约的K—构形；说不对，是因为这时还没有空出颜色，还需要再进行两次关于空出颜色的交换，才能空出上述的两个同色来给待着色顶点着上。
13、为此，上述的结论是否可以这样说：对于任何非E—图类构形，转型交换不超过40次，就转化成了可以连续的移去两个同色的可约的K—构形；而总的交换不超过42次，就可以空出颜色来给待着色顶点着上。

8月29日我又回复：
老张朋友：
1、你我二人自二○一○年我接到你寄来的《探秘》一书后，整整连续十年之久的辨论到此就要结束了。
2、我们的观点统一的光芒已经一开始四射，我感到非常的就兴。
3、有了这个转型交换次数的“上限值”，我们的理论完全就统一了。
4、你用你的分类方法把H—构形分成了E—图类构形和非E—图类构形（Z—构形），分别用Z—换色程序和H—换色程序进行处理，证明任何H—构形都是可约的；我用我的分类方法把H—构形分成有环形链的构形和无环形链的构形，分别用断链交换法和转型交换法进行处理，同样也证明任何H—构形也都是可约的。都回答四色猜测是否正确的问题。
5、实际上Z—换色程序就相当于断链交换法，H—换色程序就是转型交换法。
6、建议你以后不要再把Z—构形分成多少类了，就是一类Z—构形就行了。这样我们的观点就完全的统一起来了。
7、有了40或者42，我们才可以说任何无环形链的H—构形或Z—构形，都是可以在“有限次的”转型交换或“有限次的”H—换色内，由围栏顶点中空出一种颜色来给待着色顶点的。
8、请老张先生朋友，对此提出看法。我等着你的好消息。

8月30日张先生回复：
国内的敢峰先生与我20多年，你与我也十几年的交流，思路一致，互相学习，互相促进，彼此完善，这样的交往弥足珍贵！
在我的《四色猜想的创新证明》最后感谢的话之中已经表明我的感受。
希望共同努力，争取早日得到四色问题专家的认可！

8月30日我回复：
让我们三人共同的努力吧！
       
       
雷  明
二○一九年八月二十九日整理于长安

注：此文已于二○一九年八月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，