3 自然数集合的构造法则

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自然数集合的构造法则
在提出自然数集合构造法则之前需要提出如下定义。
定义2：元素个数为有限自然数，且集合本身不能集合元素的集合。叫做正常集合，否则，叫非正常集合。
至于自然数集合的构造法则，根据自然数的标准序列（1），我们可以先提出如下的以正常集合为元素的无穷序列
   {0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}…… （2）
及{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，—，（10n-1）},…… (2’)
这两个以自然数为元素的正常集合的元素个数的数列的极限都是 。
定义3：上述两个以集合为元素的无穷序列中的每一个集合都叫做近似自然数集合。
定义4：上述两个正常集合序列的趋向或称广义极限叫做理想自然数集合，它可以被看作包括所有自然数的理想自然数集合；也称具有被看作包括而且仅包含所有自然数的集合的其它广义极限性质集合为理想自然数集合。依照习惯，这样的理想集合可以记作{0，1，2，……，n,n+1,……}或简写为N。
定义5：理想自然数集合元素个数定义为构造理想自然数集合的正常集合的元素个数数列的极限。由此可知：理想自然数集合的元素个数为非正常数 ，依据定义2，这个广义极限性质的理想集合是非正常集合。
公理4：广义极限性质的理想自然数集合具有人们无法构造完毕的性质，实际应用时，常常需要作出元素个数足够多的自然数集合付诸应用。
根据定义2以及理想自然数集合的构造性叙述可知：无穷多正常集合组成的集合是非正常集合，这就消除了罗素悖论，不需要为消除罗素悖伦建立ZFC形式公理集合论。至于Peano 的其它公理，以及自然数的运算法则和其它现行教科书中叙述的性质（如：阿基米德性质）都是成立的，这里就不赘述了。

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无穷性自然数集合 是依赖于有穷自然数集合的发展性的趋向性的理想性集合，其元素个数是非正常实数+∞，而不是定数阿里夫0.