埃雷拉图（E—图）的各种4—着色

雷明85639720

埃雷拉图（E—图）的各种4—着色
雷  明
（二○一九年九月十一日）

在《埃雷拉图（E—图）的特点及其与四色猜测证明的关系》一文中，我们根据E—图中含有经过围栏三个顶点的环形邻角链的特点，把H—构形分成了有环形链的构形和无环形链的构形两大类，E—图中含有环形链，可以用断链交换法使其变成K—构形而可约；也根据E—图进行对角链转型交换和邻角链链转型交换都是无穷循环转型的特点，从理论上也把H—构形分成了无穷循环转型的构形和非无穷（有限）转型的构形两大类，证明了有限转型的构形在进行对角链转型交换时最多只需用要42次交换和在进行邻角链转型交换时最多只需要122次交换，就可空出颜色给待着色顶点。证明了四色猜测是正确的。
1、E—图转型交换的特点：
我们发现E—图无论是对角链转型还是邻角链转型，图都是在有经过三个围栏顶点的环形链的构形和有经过两个围栏顶点的环形链的构形间进行着无休止的循环。所有奇数次转型所得的图是有经过两个围栏顶点的环形链的构形，而所有偶数次转型所得的图则是有经过三个围栏顶点的环形链的构形。奇数次转型所得的图中只有一条有经过两个围栏顶点的环形链的构形，而偶数次转型所得的图中除了含有经过三个围栏顶点的环形链外，还有一条不经过围栏顶点的与那条经过了三个围栏顶点的环形链呈相反色链的环形链。若把以上的各种构形都转化成BAB型的5—轮构形时，全都得到四种构形（如图1）。图1—0是E—图原图，图1—1是一次转型后的图，图1—2是二次转型后的图，图1—3是三次转型后的图。依次往后累推，两种转型所得的图，全是在四种构形间循环的转化着。转化成BAB型的5—轮构形时，全是在图1中这四个构形间转化着。


图1—0和图1—2是偶数次转型的图中均既含有经过了三个围栏顶点的A—B环形链，又含有不经过围栏顶点的C—D环形链（如图2—0和图2—2），而图1—1和图1—3是奇数次转型的图，却只含有经过了围栏两个顶点的C—D环形链（如图2—1和图2—3）。但不管是什么样环形链，只要是经过了围栏顶点的，都可以通过断链交换法，使图变成可约的K—构形。


2、E—图的各种4—着色：
现在我们专门来研究E—图的4—着色问题。因为E—图是含有环形链的构形，所以首先要通过断链交换法把图转化成可约的K—构形。
①　对图1—0从A—B环外交换C—D链得图3—1，对图1—0从A—B环内交换C—D链得图3—2，原来的双环交叉都没有了，却生成了双环不交叉的构形，是可以连续的移去两个同色B的K—构形。图3—1移去两个同色B如图3—3，图3—2移去两个同色B如图3—4。


②　对图1—1从A—B环外交换C—D链得图4—1，对图1—1从A—B环内交换C—D链得图4—2，原来的双环交叉也都没有了，但却生成了另一类双环交叉的构形，这是一种不可以移去两个同色的构形。图4—1移去两个同色B如图4—3，图4—4，图4—5，图4—6；图4—2移去两个同色B如图4—7，图4—8，图4—9，图4—10。





③　对图1—2从A—B环外交换C—D链得图5—1，对图1—2从A—B环内交换C—D链得图5—2，原来的双环交叉也都没有了，却生成了双环不交叉的构形，是可以连续的移去两个同色B的。图5—1移去两个同色B如图5—3，图5—2移去两个同色B如图5—4。


④　对图1—3从A—B环外交换C—D链得图6—1，对图1—3从A—B环内交换C—D链得图6—2，原来的双环交叉没有了，但却生成了另一类双环交叉的构形，这是一种不可以移去两个同色的构形。图6—1移去两个同色B如图6—3，图6—4，图6—5，图6—6；图6—2移去两个同色B如图6—7，图8—8，图6—9，图6—10。





这里，我们对E—图已进行了二十种不同的着色。研究这个虽然对证明四色猜测并没有多大作用，但说明了任何平面图不但是可以4—着色的，而且着色的模式是多种多样的。

雷  明
二○一九年九月十一日于长安

注：此文已于二○一九年九月十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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