向陆教授请教一个奥数题

simpley

a,b,c都是正数，ab+bc+ac=abc
证明(a^4+b^4)/ab(a^3+b^3)+(a^4+c^4)/ac(a^3+c^3)+(c^4+b^4)/cb(c^3+b^3)>=1[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在 时添加 -=-=-=-=-
ab(a^3+b^3)都是分母

fungarwai

似乎对称函数一定在a=b=c时取极值
a=b=c、ab+bc+ac-abc=3a^2-a^3=0,a=b=c=3
3(a^4+b^4)/[ab(a^3+b^3)]=3/3=1

simpley

楼上的证明不对

kanyikan

(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>=0
=>(a-b)(a^3-b^3)>=0
=>a^4+b^4>=a^3b+ab^3
=>2(a^4+b^4)>=a^3b+ab^3+a^4+b^4
=>2(a^4+b^4)>=a(a^3+b^3)+b(a^3+b^3)
=>(a^4+b^4)/(ab(a^3+b^3))>=0.5(1/a+1/b)
同理
(a^4+c^4)/(ac(a^3+c^3))>=0.5(1/c+1/a)
(c^4+b^4)/(cb(c^3+b^3))>=0.5(1/b+1/c)
所以(a^4+b^4)/(ab(a^3+b^3))+(a^4+c^4)/(ac(a^3+c^3))+(c^4+b^4)/(cb(c^3+b^3))>=0.5(1/a+1/b)+0.5(1/c+1/a)+0.5(1/b+1/c)=1/a+1/b+1/c=1
当a=b=c=3时等号成立。

simpley

证的漂亮，非常感谢

ysr

楼主好，又看到了，新年好！