求点 P(-3,0,-1) 到由方程组 x+y+z=3 ，x-y-2z=-1 ，2x-z=2 所确定的图形的最短距离

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

F16

1.解方程组得：x+y+z=3;-2y-3z=-4,这就说明图形是空间里两个平面组成的一条直线。 2.通过两个平面的法向量<1,1,1>和<0,-2,-3>的叉乘得到与直线平行的向量u,并化为单位向量(√14)<-1,3,-2>. 3.随便取直线上一点A,我取(1,2,0),做向量PA=<4,2,1>。这样我们可以得到向量PA在u方向上的投影h。且h=PA·u,向量PA的大小记为L,所以最短距离为：√(L^2+h^2). 4.经过计算，PA垂直于u，所以最短距离L为：√(4^2+2^2+1)=√21.

F16

也可以直接用拉格朗日乘数法 w=(x+3)^2+y^2+(z+1)^2 约束方程为：x+y+z=3和-2y-3z=4 ▽w=<2(x+3),2y,2(z+1)> ▽g=<1,1,1> ▽h=<0,-2,-3> 所以，▽w=λ▽g+μ▽h 解方程组得：x=1,y=2,z=0,

luyuanhong

谢谢楼上 F16 的解答。
下面是我的另一种解答：

fungarwai

下面引用由F16在 2013/12/29 03:15pm 发表的内容： 1.解方程组得：x+y+z=3;-2y-3z=-4,这就说明图形是空间里两个平面组成的一条直线。 2.通过两个平面的法向量<1,1,1>和<0,-2,-3>的叉乘得到与直线平行的向量u,并化为单位向量(√14)<-1,3,-2> ...

2楼的方法中√(L^2+h^2).应为√(L^2-h^2).