[讨论]关于三角形内部一点的性质

掬一捧月光 · 发表于 2014-1-3 02:26

[color=#FF4500]三角形ABC内部任一点G，连接AG,BG,CG并延长交各边于D,E,F,那么AG/GD*BG/GE*CG/GF-AG/GD+BG/GE+CG/GF=2

掬一捧月光 · 发表于 2014-1-3 02:30

这是网友 YAG 给我的一个高中数学题目的一般推论。希望大家讨论并能给出比较简洁的几何证明或代数证明。

天山草 · 发表于 2014-1-3 09:56

如果 G 点位于三角形的外面，那个等式同样也成立。
因此，原问题可改为：对于平面上的任意四个点 A、B、C、G，有等式……成立。

掬一捧月光 · 发表于 2014-1-3 17:00

下面引用由天山草在 2014/01/03 09:56am 发表的内容：
如果 G 点位于三角形的外面，那个等式同样也成立。
因此，原问题可改为：对于平面上的任意四个点 A、B、C、G，有等式……成立。

回复天山草：当G在三角形外面时，性质不成立了。

天山草 · 发表于 2014-1-3 18:30

要注意，线段长度有正有负！

kanyikan · 发表于 2014-1-4 01:12

kanyikan · 发表于 2014-1-4 01:20

G点在三角形外也成立。看成有向线段，若比例中的两线段方向相同，则取负号。

掬一捧月光 · 发表于 2014-1-4 09:50

边长的比例问题转化为面积的比例问题，可以将没有整体关系的边的比例关系转化成具有整体关系的面积比例形式，从而易于从整体上来把握。谢谢 kanyikan 让我牢固了这一思想，上次遇到的一个边的比的问题，一开始没有从面积角度来转化，却总是想通过解析的方法来解决，这样就缺乏了几何的美！上次那个问题还是陆老师给了我解答，也是通过面积来转化边的比例关系的！http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=19072看来在三角形中，线段比和面积比要相互转化来使用啊！

luyuanhong · 发表于 2014-1-4 11:25

我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天山草 · 发表于 2014-1-6 12:21

[这个贴子最后由天山草在 2014/01/07 11:25am 第 2 次编辑]

无论 G 点在三角形 ABC 的里面还是在外面，经计算，各点的坐标表达式是相同的，各线段的长度表达式也相同。
但是，当 G 点在三角形外面时，代入具体数值计算线段的长度时，计算结果可能会出现负值。

		自动登录	找回密码
密码			注册

[讨论]关于三角形内部一点的性质

本帖子中包含更多资源