[讨论]一道比较古怪的关于极限的题目

掬一捧月光

[这个贴子最后由掬一捧月光在 2014/01/26 02:20am 第 1 次编辑]

这个题目是我在做一道概率题时误打误撞产生的，概率题没做出来，倒是弄出个这个古怪的题目，这个题目还没有认真思考，用计算机模拟了下，它的极限似乎竟然是一个整系数三次方程的一个实根！且不能用公式表达出（指不含虚i的根式表达，最近一直看到 雪花飘飘 讨论关于三次方程的实根不含i的根式化）。现将题目贴于此，或许很简单，但夜深了，脑袋不灵光了。。。想休息了。希望大家讨论讨论啊

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2014/01/26 11:20am 第 1 次编辑] a = 1; b = 1; c = 1; Print[1, " ", a, " ", b, " ", c] For[i = 2, i <= 20, i++, d = b; e = a + b + c; f = b + c; a = d; b = e; c = f; Print[i, " ", a, " ", b, " ", c] ]; 对于前 20 个数字，结果是： n  a(n), b(n), c(n) ---------------------------- 1   1  1  1 2   1  3  2 3   3   6   5 4  6   14   11 5  14   31  25 6  31  70  56 7  70  157  126 8  157  353  283 9  353   793  636 10  793  1782  1429 11  1782  4004  3211 12  4004  8997  7215 13  8997  20216  16212 14  20216  45425  36428 15  45425  102069  81853 16  102069  229347  183922 17  229347  515338  413269 18  515338  1157954  928607 19  1157954  2601899  2086561 20  2601899  5846414  4688460 ------------------------------------- 但是不知如何总结出规律， 即得出 a(n), b(n), c(n) 的公式？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/01/26 04:48pm 第 2 次编辑]

掬一捧月光

[这个贴子最后由掬一捧月光在 2014/01/26 06:00pm 第 2 次编辑]

谢谢陆老师的精彩解答！也谢谢 天山草 的回复！线性的东西还是线性代数解决比较好，我线性代数学得很浅，而且还没学好，要努力学习了！向陆老师学习！[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 掬一捧月光 在 时添加 -=-=-=-=-
陆老师用的转移矩阵的特征方程这种解法，让我想到了斐波那契数列的通项公式（由递推公式，即差分方程）也可以用特征方程来解，但那是“一维”的，只有一个a(n)的关系式；但这里是“三维”的，就上升到了三维矩阵的特征方程，可以说差分方程的特征方程是此一维的特殊情形。如果引入了a(n)是a,b,c(n-1),a,b,c(n-2)甚至更多的阶数，是不是更复杂了。。。[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 掬一捧月光 在 时添加 -=-=-=-=-
而且让我想起了解有三个实数的一元三次方程，可以用那个三角形式的根的表达式的，而用了判别式构造的根的表达式就会出现虚数i，且不易于化简。真是妙也[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 掬一捧月光 在 时添加 -=-=-=-=-
最后那个用λ(i)表示的极限值，是另一个三次方程的一个根也比较神奇啊~不知能否正着推导出来

天山草

关于矩阵的知识，我几乎是空白。

掬一捧月光

下面引用由天山草在 2014/01/26 06:34pm 发表的内容：
关于矩阵的知识，我几乎是空白。

所以像我们这样的数学爱好者的数学知识结构是不全面的，往往喜欢某一个比较浅显的分支，比如初等代数，几何。高等代数、抽象代数，微分几何等高级的数学就不行了，远不如专业搞数学的，甚至我们都没碰过那些数学前沿的比较高深的专业书籍。况且数学门类、分支众多，要想在数学上有很大成就很难啊，尤其是业余数学爱好者，更难。