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定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

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发表于 2014-1-27 03:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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发表于 2014-1-27 12:01 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

[这个贴子最后由drc2000在 2014/01/27 00:03pm 第 1 次编辑]

你若不喜欢黎曼积分,不妨采用勒贝格积分。
发表于 2014-1-27 13:08 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

楼主对黎曼积分的解读是错误的。这里只有任意有限而没有什么无限划分。每一个划分都是有限划分,分成的是子区间而不是单点。
 楼主| 发表于 2014-1-27 17:08 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

[这个贴子最后由fm1134在 2014/01/27 05:16pm 第 3 次编辑]
下面引用由elimqiu2014/01/27 06:08am 发表的内容:
楼主对黎曼积分的解读是错误的。这里只有任意有限而没有什么无限划分。每一个划分都是有限划分,分成的是子区间而不是单点。
    如果是“有限划分”的话,那么毫无疑问,这段△xi还可以继续划分下去,因为这绝不
是λ→0的最终结果。
  
    还有,你可以看看正规的教科书对定积分的定义中,绝没有出现“有限划分”的字眼,
都是指λ→0的最终结果。
    试问,对一段区间进行无限划分,最后得到的小段长度为0,这段小段不是一个点,还
能是什么呢?这在逻辑上还不够明显吗?
    请特别注意:这里的λ=max{△xi}!!!最长的小段的长度都是0了,其它任何一个小段的
长度难道还能大于0吗?这不是一个一个的点,又能是什么呢?
发表于 2014-1-27 18:07 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/01/27 06:09pm 第 1 次编辑]

微积分中说:“令 [a,b] 划分的区间个数 n→∞ ,使得划分区间长度的最大值 λ→0 ”
并没有说要对 [a,b] 进行无限划分,“直到得到一个一个的点为止”的意思。
在标准分析中,“λ→0”的意思是:“对于任给的正数 δ>0 ,都可以找到一种划分,
使得划分区间长度的最大值 0<λ<δ ”。
在非标准分析中,“λ→0”的意思是:“将 [a,b] 划分成 n 个区间,其中 n 是一个
无穷大正整数,使得划分区间长度的最大值 λ 是一个正无穷小量”。
你可以看到,无论是按照标准分析的定义,还是按照非标准分析的定义,“λ→0”都不等
于说划分区间长度的最大值 λ等于 0 ,不管划分到哪一步,区间还是区间,并没有成为点。

点评

任给的正数 δ>0,说明一直进行划分,始终还是进行不到底,一直在变化过程中  发表于 2020-12-20 00:08
按照正常人思维走,无限划分,区间宽度就应该等于0,最大的都等于0,那最小的更不用说,也是0,没想到原来是这样解读的。  发表于 2020-12-20 00:07
 楼主| 发表于 2014-1-27 18:17 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

[这个贴子最后由fm1134在 2014/01/27 06:19pm 第 1 次编辑]
下面引用由luyuanhong2014/01/27 06:07pm 发表的内容:
微积分中说:“令 划分的区间个数 n→∞ ,使得划分区间长度的最大值 λ→0 ”
并没有说要对 进行无限划分,“直到得到一个一个的点为止”的意思。
在标准分析中,“λ→0”的意思是:“对于任给的正数 δ>0 , ...
    如果划分得到的仍是“区间”,而不是一个一个的“点”的话,那么毫无疑问,这样的
区间还可以继续划分,这时,所得到的那个“和式”就还不是最终的积分值。
    另一方面,在一段区间上,函数f(x)的取值也是随意的、不确定的,而我们知道,定
积分的值是唯一的,确定的。
    所以说,如果最终划分得到的不是一个一个的点的话,逻辑上是有矛盾的,讲不通的。
    要不,就得修改现行的定积分定义,使之和实变函数理论统一起来。现行的定积分定义
如果不修改的话,不论怎样理解,都会和实变函数理论发生矛盾的。
发表于 2014-1-27 18:56 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

微积分中说:“当 λ→0 时,各区间上的矩形面积总和的极限就是 [a,b] 上的积分值 S ”,
并不意味着要对 [a,b] 分到不能再分,使得各区间上的矩形面积总和绝对等于积分值 S 为止。
在标准分析中“当 λ→0 时,面积总和的极限是积分值 S”的意思是“对于任给的正数ε>0 ,
都可以找到一种划分和一个正数 δ>0 ,使得 0<λ<δ 时有 |面积总和 - S|<ε ”。
在非标准分析中,“当 λ→0 时,面积总和的极限是积分值 S”的意思是:“可以找到一种划分,
划分区间长度的最大值 λ 是一个正无穷小量,使得面积总和与积分值 S 只相差一个无穷小量”。
你可以看到,无论是按照标准分析的定义,还是按照非标准分析的定义,“面积总和的极限是 S ”
都并不意味着“面积总和要绝对等于积分值 S ”。
 楼主| 发表于 2014-1-27 20:21 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

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发表于 2014-1-27 21:13 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

“ A 的极限是 B ”与“ A 等于 B ”的意义是不一样的,用的记号也不一样。
在数学书中,我们将“A 等于 B”记为“A=B”。
将“A 的极限是 B”记为“limA=B”或“A→B”。
在有些非标准分析的书上,将“A→B”记为“A≈B”。
这样的记号,都是为了强调“ A 的极限是 B ”并不是“ A 等于 B ”。
当然“A≈B”的记号也有些缺点,因为在一般的数学书中“A≈B”表示 A 与 B 比较
接近,只相差一个比较小的实数值,而在非标准分析中,“ A 的极限是 B ”的意思是
A 与 B 只相差一个无穷小量,而不是相差一个实数值(无穷小量不是实数,是超实数),
所以记为“A≈B”也不太合适。
所以,有的非标准分析的书上,将“A→B”记为“A~B”(“~”下面还有一横,这符号
在中文字库中找不到,无法打出)。
总之,在数学中“A→B”或“limA=B”,与“A=B”的意义确实是不同的。
发表于 2014-1-28 00:00 | 显示全部楼层

定积分定义和实变函数理论的一个矛盾

下面引用由fm11342014/01/27 05:08pm 发表的内容:
    如果是“有限划分”的话,那么毫无疑问,这段△xi还可以继续划分下去,因为这绝不
是λ→0的最终结果。
假定 λ 取 1,1/2,1/3,1/4,...,1/m,...
这个极限是0,但是没有什么最终的λ,对应地也没有什么最终的划分。对应每个λ的取值,合法的划分都是有限划分。这并不妨碍极限的存在,也并不要求无限划分。
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