x,y,z 都是实数且满足 x^2+y^2+z^2/4≤1 ，求 x+y+z 的最大值和最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

若x,y,z 皆為實數且滿足 x^2+y^2+(z^2／4)≤1, 則 x+y+z的最大值與最小值為?

掬一捧月光

drc2000

解:设x+y+z=d,它表示在三轴上的截距均为d的平面.设其为α
x^2+y^2+(z/2)^2≤1表示三个半轴长分别为1,1,2的椭球(及其内部),设其为Γ
容易知道:当a与Γ在第一卦限相切时,d最大.另外一切点时候d最小
由于x,y可交换,两面相切等价于下两曲线相切:
x^2+x^2+z^2/4=1(x=y)......①
x+x+z=d(x=y)..............②
将②中z=d-2x代入①得:x^2+x^2+(d-2x)^2/4=1
既:3x^2-dx+(d^2-4)/4=0
判别式Δ=(-d)^2-4*3*[(d^2-4)/4]=0,得d=±√6
所以d最大=√6,d最小=-√6

luyuanhong

谢谢楼上 掬一捧月光，drc2000 的解答。
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掬一捧月光

luyuanhong

谢谢楼上 掬一捧月光 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。