求不等式 (|x|+|y|-1)(|x|+|y|-1/2)…[|x|+|y|-1/2^(n-1)]≤0 围成的图形的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

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从最外面算起，依次为：第一层、第二层、第三层、第四层、第五层、…… 。

我们可以看到：

属于图形内部的是第一层、第三层、第五层、……，都是“奇数层”。

而不属于图形内部的是第二层、第四层、第六层、……，都是“偶数层”。

设 k 是一个奇数，当 (x,y) 落在第 k 层中时，有

               1/2^(k-1)＞|x|+|y|＞1/2^k 。
这时必有

       |x|+|y|-1＜０ ，|x|+|y|-1/2＜０ ，…… ，|x|+|y|-1/2^(k-1)＜０ 。

       |x|+|y|-1/2^k＞0 ，|x|+|y|-1/2^(k+1)＞0 ，…… 。

共有 k 个不等式＜0 ，因为 k 是奇数，所以全部不等式相乘必定＜0 ，满足图形要求。

如果 k 是偶数，偶数个 ＜0 的不等式相乘，必定 ＞0 ，不满足图形要求。

可见，落在奇数层中的点，必定落在图形内部，而落在偶数层中的点，必落在图形外部。