将等差数列 1,4,7,10,…,2008,2011 中所有的数相乘，求所得乘积尾部零的个数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  将等差数列 1,4,7,10,…,2008,2011 中所有的数相乘，求所得乘积尾部零的个数。

解  要计算乘积尾部有几个零，只要计算乘积中有几个因子 10 。
    由于乘积中因子 2 有足够多，所以只要计算有几个因子 5 就可以了。
    等差数列中的项可以表示为 An=3n+1 , n=0,1,2,…,670 。
    当 n=5m+3 时，An=3(5m+3)+1=15m+10 ，m=0,1,…,133 ，是 5 的倍数。
    可见在数列中，有 134 个 5 的倍数，也就是说，乘积中至少有 134 个因子 5 。
    当 m=5k+1 时，An=15(5k+1)+10=75k+25 ，k=0,1,…,26 ，是 25 的倍数。
    可见在数列中，有 27 个 25 的倍数，所以，还要加上 27 个因子 5 。
    当 k=5j+3 时，An=75(5j+3)+25=375j+250 ，j=0,1,2,3,4 ，是 125 的倍数。
    可见在数列中，有 5 个 125 的倍数，所以，还要加上 5 个因子 5 。
    当 j=5i+1 时，An=375(5i+1)+250=1875i+625 ，i=0 ，是 625 的倍数。
    可见在数列中，有 1 个 625 的倍数，所以，还要加上 1 个因子 5 。
    总之，在乘积中共有 134+27+5+1=167 个因子 5 ，所以尾部共有 167 个零。