大于等于 n 的整数都可以表示成 5a+14b+21c（a,b,c 为正整数）的形式，求 n 的最

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

已知大於或等於正整數n的整數都可以表成 5a+14b+21c 的形式，其中 a,b,c 為正整數，
則 n 的最小值為

luyucheng1

elim

[这个贴子最后由elim在 2014/04/11 07:38am 第 2 次编辑]

看到网友 luyucheng1 的帖子，方法很好。我原来的计算要改进...

luyucheng1

112=21+56+5+40
   =21*1+14*4+5*9
   a=9,b=4,c=1
111=42+14+5+50
   =21*2+14*1+5*11
   a=11,b=1,c=2
   ........

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

这个解得益于luyucheng1：

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

设最小值的n=5a+14b+21c;n,a,b,c固化 m>0: n+m=5d+14e+21f m=5(d-a)+14(e-b)+21(f-c) 构造m=1(,2,3,4),设法让n最小: 1=5*(3)+14*(-1)+21*(0) 2=5*(-1)+14*(-1)+21*(1) 3=5*(2)+14*(-2)+21*(1) 4=5*(-2)+14*(1)+21*(0) 其中,d-a=3(,-1,2,-2),而d最小为1,则a<=3[因为3(,-1,2,-2)中最小值是-2,而-2=(最小d即)1-3] 同理,b<=3,c<=1 "设法让n最小"是理想说法,上面实际是经验性结果.需要验证. n=5*3+14*3+21*1=78 78+1(,2,3,4,5,6,...)不用验证,必然成立[与5的倍数有关,原因略] 只需验证78-1=77不能表成 5d+14e+21f 的形式即可 假设77=5d+14e+21f 14,21都有因数7,则d也有.设d=7t,则5d+14e+21f=35t+14b+21c>=70,而35t,14b,21c每一项最小增加量都大于7,所以77≠5d+14e+21f 答案:78 说明:上面构造m=1(,2,3,4)的式子触巧比较理想,否则验证麻烦