从 1 写到 999 ，求所得的数 a=12345678910…997998999 除以 11 的余数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

將1寫到999（連續起來），所得的數a=12345678910111213……997998999，
請問a除以11的餘數為？

掬一捧月光

luyuanhong

谢谢楼上 掬一捧月光 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj

将1,2,3,...,999视为1000进制的999个数字,1000进制下,一数(奇数位上数字和)-(偶数位上数字和)后若能被11整除,则该数也能被11整除;否则余数相同.
比如:11^3=1331,1331的1000进制是两个数字:1,331.  331-1=330=11*30
比如:11*168=1848,1848的1000进制是两个数字:1,848.  848-1=847=11*77
用(1331+1)和(1848+1)等试验余数也正确.
则a的(奇数位上数字和)-(偶数位上数字和):
(1+3+5+...+999)
-
(2+4+6+...+998)
=1+998/2
=500
500/11=45 ... 5
答案:5

ataorj

(奇数位上数字和)-(偶数位上数字和):
掬一捧月光10进制统计1~9:5
10~99:-45
100~999:450
他有错误,100~999应该是:45
ＡＢＣＤＥＦ
偶奇偶奇偶奇
１００１０１
１０２１０３
１０４１０５
。。。。
１０８１０９
１１０１１１
。。。
１９８１９９
。。。
９９９９９９
A,D相同可抵消，
Ｂ,E相同可抵消,关心C,F即可
9*[(1+3+5+7+9)-(2+4+6+8)]=45
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
998999[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
掬一捧月光没错
45*10=450