四次方程 6x^4+5x^3+3x^2-3x-2=0 有几个实根？

luyuanhong · 发表于 2014-4-17 00:45

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

考慮方程式 6x^4+5x^3+3x^2-3x-2=0 的根
(1) 沒有實根 (2) 洽有一實根 (3) 洽有兩實根 (4) 洽有四實根
希望是能給出算式，不是用電腦解出的。謝謝。

zhaolu48 · 发表于 2014-4-17 03:49

余元庆的《方程论初步》对此有详细的论述。

luyucheng1 · 发表于 2014-4-17 09:36

[这个贴子最后由luyucheng1在 2014/04/17 09:43am 第 1 次编辑]

luyuanhong · 发表于 2014-4-17 10:00

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

drc2000 · 发表于 2014-4-17 16:20

[这个贴子最后由drc2000在 2014/04/17 04:35pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyucheng1在 2014/04/17 09:36am 发表的内容：
。。。。。。

考虑到对于函数f（x）=6x^4+5x^3+3x^2-3x-2，
f（0）=-2
而f（-1）=5，f（1）=9它们和f（0）异号，
根据若当定理
-1到0之间至少有一实根，
0到1之间也至少有一实根。
此法可确定有实根。但具体几个实根，还要从长计较。
事实上，这个有理系数的方程还是可以分解因式的:
6x^4+5x^3+3x^2-3x-2=(2x+1)(3x-2)(x^2+x+1)=0
四个根为-0.5,2/3,-0.5±√0.75
只是若更一般些的方程就无能为力了.
总之,楼上luyucheng1先生的方法是通法.

zhaolu48 · 发表于 2014-4-18 04:41

用本人在VF下编的解高次方程的程序解此方程不足1秒可输出如下结果：
JM                   SB FA             XB DI             ME FB                FJ FC  CH CS             YSAA             YSAB                YSBA                YSBB
x1=    -0.500000000000000                                                                   y    1 0.000000000000000                      -0.000000000000001
x2=    0.666666666666667                                                                   y    1 0.000000000000001                      -0.000000000000001
x3-4= -0.500000000000000 ± 0.866025403784439i=1.000000000000000e^(±i2.094395102393196)    y    1 0.000000000000000 -0.000000000000001    0.000000000000000    0.000000000000001

zhaolu48 · 发表于 2014-4-18 04:47

用本人在VF下编的解高次方程的程序解此方程不足1秒可输出如下结果：
JM                SB FA             XB DI             ME FB                FJ FC  CH CS             YSAA             YSAB                YSBA                YSBB
x1=    -0.500000000000000                                                                   y    1 0.000000000000000                      -0.000000000000001
x2=    0.666666666666667                                                                   y    1 0.000000000000001                      -0.000000000000001
x3-4= -0.500000000000000± 0.866025403784439i=1.000000000000000e^(±i2.094395102393196)    y    1 0.000000000000000 -0.000000000000001    0.000000000000000    0.000000000000001

zhaolu48 · 发表于 2014-4-18 04:57

用本人在VF下编的解高次方程的程序解此方程不足1秒可输出如下结果：

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四次方程 6x^4+5x^3+3x^2-3x-2=0 有几个实根？