(x-a)(x-b)+…+(x-c)(x-a)=0 的两根为 α,β，求 a^3/(a-α)(a-β)+…+c^3/(c-α

luyuanhong · 发表于 2014-4-28 09:31

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou · 发表于 2014-4-28 10:38

可能这样的解法不对——
化作标准式：x^2-(2/3)(a+b+c)x+1/3(ab+bc+ac)=0
1、方程的是对称的，a,b,c的值应该相等，x的两个解同样应该相等，都等于1.
2，如此则下式无意义。

掬一捧月光 · 发表于 2014-4-28 16:53

luyuanhong · 发表于 2014-4-28 17:59

谢谢楼上掬一捧月光的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

moranhuishou · 发表于 2014-4-28 19:04

大概看了3楼的证明，看起来应该没有什么问题，而实际上犯了一个0为除数的错误。如果这个证明正确，必须把2楼的驳倒：
因为方程完全是对称的，a,b,c的位置完全等价，所以应有a=b=c方程才能成立。而原方程如果成立，只有三项同时为0,也就是只有a=b=c=1，可解得x1=x2=1.
所以下式0为除数无意义。

moranhuishou · 发表于 2014-4-28 20:13

我们可以验证一下：
1、将a=b=c=x1=x2=1代入原方程，是成立的。
2、代入2楼的结果3（a+b+c）=9
3、而代入下面的式子，明显无意义！
0是不能做除数的，做了除数，结果就会很荒唐。

moranhuishou · 发表于 2014-4-29 09:53

我们从另一个角度再验证一下：令a,b,c<>x1,x2,这时下面的式子不存在0为除数的问题，但这时代入方程就不成立。作为一个代数方程，代入任何数字都应该成立，例如令a=b=c=2,这时方程根本就不成立，解不出x1,x2. 所以=3（a+b+c）这个结果是荒唐的。

moranhuishou · 发表于 2014-4-29 19:27

一个经典的例子——
设a=b,则aa=ab
aa-bb=ab-bb
(a-b)(a+b)=b(a-b)
a+b=b
因为a=b,则
2b=b
则
2=1
这是很荒唐的。

moranhuishou · 发表于 2014-4-30 15:51

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