《几何基础》

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《几何基础》

数学教育网 www.shuxue.com.cn 文章来源：本站原创 发表时间：2006-9-30 19:49:18 阅读次数：32


《几何基础》

《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）是德国著名数学家希尔伯特所著，1899年初版，此后不断再版，至1930年已出第七版。
我们知道，几何学本来的对象就是图形，因而研究它们时必然要用到我们的空间直观性。可是直观性也有缺乏客观性的情况，因此在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观，建立纯粹的合乎逻辑的几何学的思想，在古希腊时代就已经开始了。欧几里得的《几何原本》就是在这种思想的指导下完成的。虽然长期以来，《几何原本》被视为完善的逻辑体系的典范，但是事实上随着时代的进步，数学的批判精神有所发展，人们注意到《几何原本》中的逻辑性存在许多缺陷。请看下例：
《几何原本》第1卷命题16：
任意三角形的任意一个外角大于任何一个内对角。
证明如图1，设ABC是一个三角形，延长BC到D，则可证外角ACD大于内对角CBA、BAC的任何一个。
设AC被E点平分，连BE并延长至F，使EF等于BE，连FC，延长AC至G.
易证三角形ABE全等于三角形CFE，所以角BAE等于角ECF，因角ECD大于角ECF，故角ACD大于角BAE．
类似地，BC被平分，角BCG，即角ACD可证明大于角ABC【】这个证明貌似逻辑严密，其实它在很大程度上依赖了直观性，问题出在“角ECD大于角ECF”，理论依据何在？根据公理5，整体大于部分。何调整体？难道只许把ECD视为整体，就不准把ECF作整体吗？
这个例子说明了直观性缺乏客观性，更暴露出《几何原本》的公理体系本身的不完备。而且这样的例子在机何原本种可谓比比皆是。到19世纪后半叶，许多数学家提出了可用以代替《几何原本》公理体系的在逻辑上完善的公理体系。其中，希尔伯特提出的公理体系是考虑最周到的。
希尔伯特精确地提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系，这些关系由五组公理得以保障：
关联公理（Ⅰ1－Ⅰ8）8条；
顺序公理（Ⅱ1－Ⅱ4）4条；
合同公理（Ⅲ1一Ⅲ5）5条；
平行公理（Ⅳ）1条；
连续公理（V1～V2）2条。记述了希尔伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的《几何基础》出版后，立即引起了整个数学界的关注，并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代公理化方法的奠基人。


文章录入：戴刚锋    责任编辑：戴刚锋  
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wangyangkee

俞根强，与一般网友不同；骨子里有一股股蠢货往外透----------那是俞氏的传统和荣耀啊，，，，不让他发泄个够，，，，行吗？