谁给介绍一下超越数啊

fxccommercia · 发表于 2006-11-21 21:25

谁给介绍一下超越数啊谢谢先

luyuanhong · 发表于 2006-11-23 21:31

一个实数，如果它不满足任何整系数代数方程，不是任何整系数代数方程的根，这个实数就称为超越数（transcendental number）。例如 π = 3.1415926535…，e = 2.71828182845… 已经被证明都是超越数。

bendashao · 发表于 2006-11-24 10:41

e是什么的缩写，是element吗？

luyuanhong · 发表于 2006-11-24 21:28

e = 2.718281828459045… ，像圆周率π 一样，是数学中一个常用的常数，它是自然对数的底数，由数学家欧拉（Euler，1707-1783）首先提出，为了纪念他，所以用字母 e 来表示这个常数，e 就是“Euler（欧拉）”的第一个字母。

天山草 · 发表于 2006-11-25 22:09

请问 sin20°是超越数吗？超越数可以尺规作图做出来吗？例如已知单位“1”的长度，能够做出 sin20°的长度吗？

luyuanhong · 发表于 2006-11-26 00:37

[这个贴子最后由luyuanhong在 2006/11/26 00:40am 第 1 次编辑]

在已知单位“1”的长度时，能用尺规作图作出来的长度所代表的数，一定不是超越数，因为这个数总是可以表示为某个整系数代数方程的根。但是，反过来，一个不能用尺规作图作出来的长度所代表的数，并不一定就是超越数，例如 sin20°所对应的长度，显然是不可能用尺规作图作出来的（否则就能三等分 60°角了），但是 sin20°并不一定就是超越数，对每一个数，都需要单独作一套证明，证明它是超越数或者不是超越数，当然这种证明是很困难的。

天山草 · 发表于 2006-11-26 08:37

[这个贴子最后由天山草在 2006/11/26 08:44am 第 1 次编辑]

对 6 楼的解答很满意。已知 x^3-3x+1=0 有一个实根 -2cos20°，根据定义，cos20°是代数数而非超越数，由于 (sin20°)^2+(cos20°)^2=1, 可否说 sin20°也同样是代数数？
另外，sin20°之所以不能尺规作图的原因，是不是因为它不能表示成“有限个平方根”（根号内是不同的正有理数）的“加减乘除组合”？

luyuanhong · 发表于 2006-11-26 09:13

你的想法是对的，一般来说，如果 cosθ 是代数数，那么 sinθ 就一定也是代数数。也可以直接证明 sin20°不是超越数，下面是我的证明：
凡是能用有限多次加减乘除和开平方运算得出的数，都可以从单位1长度出发、用尺规作图作出。反过来，凡是不能用有限多次加减乘除和开平方运算得出的数，都不能从单位1长度出发、用尺规作图作出。

天山草 · 发表于 2006-11-26 09:43

谢谢 luyuanhong 的答复。1837 年万切尔在伽罗瓦的理论基础上写了有关不能“尺规作图”的文章，我没有看过此文，现在网上有人对此文提出异议，认为“作图不能”的结论下得不对，不知万切尔的主要观点是什么？“九等分圆”不能作图是高斯的研究成果吧？这个成果也同时宣布了60°角不能尺规作图三等分。上述这些数学家的观点有无共同之处？

天山草 · 发表于 2006-11-26 09:50

象自然数立方倒数和（加到无穷多）这样看起来“样子很吓人”的数，竟然也不是超越数，它与圆周率没有关系。上述无穷级数之和等于什么数，是否至今也没有结论？

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