[原创]连续统假设

x3j3z3

[watermark]　　连续统假设是１８７４年，康托尔提出来的。他认为自然数集是无限集的最小基数集，那么，实数集是不是大于自然数集基数的最小无限集？基数，就是一个集合中元素的个数，又叫势。
　　其为什么认为在无限集中，自然数集的元素个数最少呢？他是通过一一对应来证明的。比如偶自然数集为｛２、４、６、８……｝，自然数集为｛１、２、３、４……｝。通过一一对应，则是２→１，４→２，６→３，８→４……由于可以无限地对应下去，因此其认为偶自然数集的势，与自然数集的势相等。
　　但在无限集的等势证明中，不能用一一对应。因为一一对应有个前提条件，两集合等势。如果两集合不等势，哪有一一对应的关系？对于有限集而言，可以用一一对应这种理念，来验证其是否等势。比如｛Ａ，Ｂ｝与｛１，２，３｝，一验证，就知道它们不等势。而对无限集来讲，没办法具体验证。那如果用一一对应去证明，则成了已知两集合等势，再证明两集合等势，这显然不成立。
　　在证明无限集是否等势的问题上，可以用数轴的区间性去论证。如偶自然数集和自然数集的元素都在数轴的正半轴上，那可以把正半轴分成一些区间，如［１，２］，［３，４］，［５，６］，［７，８］……显然，在任一区间中，都是自然数集的势大于偶自然数集的势，那在全区间中，自然数集的势必然大于偶自然数集的势。自然数集就不是无限集的最小基数集，连续统假设明显不成立。
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zhaolu48

　　用反证法证明一个命题是错误的，就是假设这个命题正确，推论下去必然会出现矛盾，出现矛盾，就证明了这个命题是错误的。
　　很多人都从康托的这个关于集合理论出发进行推论，最后总是出现矛盾，可还总认为康托的理论是正确的，这真是数学的悲哀！

maths

>>> 很多人都从康托的这个关于集合理论出发进行推论，最后总是出现矛盾
何出此言？

maths

>>> 显然，在任一区间中，都是自然数集的势大于偶自然数集的势，那在全区间中，自然数集的势必然大于偶自然数集的势
为什么？

maths

集合的基数大于任意真子集基数是有限集合的特征，事实上无限集合本身就可以用“存在一个真子集与其本身一一对应”来进行定义。

x3j3z3

在无限集的等势证明中，不能用一一对应。因为一一对应有个前提条件，两集合等势。如果两集合不等势，哪有一一对应的关系？

maths

>>> 一一对应有个前提条件，两集合等势。如果两集合不等势，哪有一一对应的关系？
讲得非常好。所以两集合如果存在一一对应的关系，那么就一定等势。
以你上面所说的自然数集合Ｎ和偶数集合2Ｎ以及Ｎ到2Ｎ的映射f：f(n)=2n 为例，任给n属于Ｎ，则存在2n属于2Ｎ与之对应；反之任给n属于2Ｎ，则必存在n/2属于Ｎ与之对应，因此f的确是一个一一映射，也就是说自然数集合Ｎ和偶数集合2Ｎ的确等势！

x3j3z3

N与N+1怎么等势？难道N=N+1，或者（N+1）-N=0？
这是个非常简单的问题，不用纠缠了吧？

暗夜精灵

如果认为无限集是在不停构造着的，则N与2N等势
如果认为无限集是已经构造完毕的，则N与2N不等势

elimqiu

下面引用由暗夜精灵在 2010/10/17 02:23am 发表的内容：
如果认为无限集是在不停构造着的，则N与2N等势
如果认为无限集是已经构造完毕的，则N与2N不等势

‘不停构造’至少表明有关的‘集合’还不确定。这样的东西的势是怎么定义的都没有谱么。这种‘集合论’有没有专著？ 应该是直觉主义集合论吧？ 我还真没见过这方面的著作。

“如果认为无限集是已经构造完毕的，则N与2N不等势” 是错的。