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哥德巴赫猜想应该是中学生的课外习题－－胡思之
1997年7月，《科学学报》第40卷第4期中，刊登了由单、阚俩位先生所撰写的《大偶数表为一个素数与一个殆素数之和：素数属于某个等差数列》之文章，其中，对所求解的GC问题之定义为：
【#{p:p＜x,p≡b(mod a),(a,b)=1,(x-b,a)=1,p+Pr=x}】
这里的p≡b(mod a)是指以p为先起元素，步长为a的等差数列：p+an；b(a)为等差数列p+an中的元素。
根据定义，解析数论是以x-b这样的置换方式来求解GC问题的。这种x-b置换方式是先筛选自然数列中的元素，以求取一个与诸素数互素的缩系，且以欧拉函数φ(a)为缩系的数据：【对等差数列中素数分布的研究是一个十分困难但又非常重要的问题，它是研究哥德巴赫猜测的基本工具。若我们用π(x;k,i)表示在等差数列i+kn中不超过x的素数个数，则现在已经证明了下面的定理：
定理3.3：若klog^(20)x，则有
π(x;k,i)=Lix/ψ(k)+o(xe^{-c_2*√logx}
这里ψ(k)为欧拉函数，c_2为一正常数。
定理3.3是解析数论中一个重要的定理，它是经过了许多数学家的努力才得到的，是我们研究哥德巴猜测的基本定理。】以p(1,2)为例，在不大于x的自然数序中除以欧拉函数φ(a)，形成了模a的简化剩余类之缩系p≡b(mod a)，再用x-b对b(a)元素作置换，让模a的简化剩余类映射于其它的等差数列上；然后，再对新的等差数列予以考察。若是与a有公约数的，则将这样的等差数列予以删掉，剩下的也就是一些与a互素的等差数列，其所操作的是二次之筛选。由于第一次的筛选已然将具有不大于x^(1/3)的素因子删掉，故而，当x-b之殆素数中也只剩下均是大于x^(1/3)的素因子时，可知，此时的x=w+v均是p(1,2)之元素。
例如，设a=2*3=6，且x不大于120。则p≡b(mod a)是模6的简化剩余类。按互素条件(a,b)=1，则缩系有5+6n及7+6n这二个等差数列。b(a)有元素：
5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 …
当x=56时，x-b有元素：
51 49 45 43 39 37 33 31 27 25 21 19 15 13 9 7 3
根据(x-b,a)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
49 43 37 31 25 19 13 7
将上述的元素相加且等于x，有：
49+7 43+13 37+19 31+25
当x＝58时，x-b有元素：
53 51 47 45 41 39 35 33 29 27 23 21 17 15 11 9 5 3
根据(x-b,a)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
53 47 41 35 29 23 17 11 5
将上述的元素相加且等于x，有：
53+5 47+11 41+17 35+23 29+29
当x=60时，x-b有元素：
55 53 49 47 43 41 37 35 31 29 25 23 19 17 13 11 7 5
根据(x-b,a)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
55 53 49 47 43 41 37 35 31 29 25 23 19 17 13 11 7 5
将这样的素数相加且等于x，有：
55+5 53+7 49+11 47+13 43+17 41+19 37+23 35+25 31+29
显然，上面所述的是在对p(1,2)之元素的求取。那么，根据同样的定义，能否求得p(1,1)之元素呢？答案是肯定的。
例如，设a=2*3*5*7=210，则有模210的简化剩余类，且x不大于120。则在缩系中剩下的唯有一些素数作为元素：
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 …
当x=56时，x-b有元素：
45 43 39 37 33 27 25 19 15 13 9 3
根据(x-b,a)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
43 37 19 13
将这样的素数相加且等于x，有：
43+13 37+19
当x＝58时，x-b有元素：
47 45 41 39 35 29 27 21 17 15 11 5
根据(x-b,a)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
47 41 29 17 11
将这样的素数相加且等于x，有：
47+11 41+17 29+29
当x=60时，x-b有元素：
49 47 43 41 37 31 29 23 19 17 13 7
根据(x-b,a)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
47 43 41 37 31 29 23 19 17 13
将这样的素数相加且等于x，有：
47+13 43+17 41+19 37+23 31+29
显然，上述之元素均为两个奇素数之和。
按照定义，我们不仅能求取p(1,2)之元素，同样地，也是能求取p(1,1)之元素。明明是可以做出来的，数论学家缘何弃p(1,1)而不用呢？原因就在于，不敢直面p(1,1)。因为，所谓的解析数论是建筑于“素数的出现概率为零”的基础上的，其主要的依据是无穷乘积∏(1-1/p)=0；解析数论用以计算的所谓的素数之密率1/logx，正是设定为当x→∞时，有lim 1/logx→0这样的数据。根据解析数论解GC问题的定义，倘若所解的是p(1,1)，则当x→∞时，欧拉函数φ(a)就必须面对无穷乘积∏(1-1/p)=0的尴尬之境况；故而，解析数论只能将习题做到p(1,2)。
哥德巴赫猜想之所以成为一道世纪级的难题，罪魁祸首就是这个解析数论。所谓的解析数论一边竭力地否定着可以用概率论的方法而解GC问题，却又将欧拉函数φ(a)作为其求解的前提，须知，欧拉函数φ(a)正是用概率论的方法而求得的。如此充满矛盾的学说统治着当今的数论，无疑，解不出GC问题乃是必然的。
只要正本清源，抛弃那所谓的解析数论，GC问题只是一道中学生的课外习题而已。因为，它根本就不需要高等数学，只要会做四则运算，就能求得p(1,1)的下限。
我们知道，加法关系x=w+v是由两个自然数相加而成，显然，与不大于√x的诸素数互素，是针对着w+v元素而进行的；因为，删掉了其中任何的一个自然数，另一个与之相加的自然数是不能独自成立的。从加法公式：
x=np=(n-m)p+mp和x=nq+r=(n-m)q+mq+r
中可知，对于那些与x有公约数的合数，每隔p个w+v元素乃是筛掉一个，有互素系数为1-1/p；对于那些与x互素的合数，每隔q个w+v元素乃是筛掉二个，有互素系数为1-2/q。显然，这样的互素系数对于每一个偶数x而言，是确切无疑的：
x=np=(n-m)p+mp，1≤m≤x/2
x=nq+r=(n-m)q+mq+r，1≤m≤x
根据这样的互素系数，我们可以获得与不大于√x的诸素数互素的系数：
{∏p|x}(1-1/p){∏q⊥x}(1-2/q) p,q≤√x
符号“⊥”表示不整除。展开乘积，将后一因式中的分子与前一因式中的分母相约。由于在系数中，除了3=2=1这二个相邻的素数外，其余相邻的素数之差值均不小于2，故而，若i＜j，则有(p_j)-2≥p_i，即后一因式中的分子之值大于或等于前一因式中的分母。根据"每一个不大于x的合数都有一个不大于√x的素约数"之定理，系数中最大的素数之值是不大于√x的；于是，将后一因式的分子与前一因式的分母相约，保留所谓的最后的分母p_n，则有：
p(1,1)＞(x/2)*(1/2)*(1/p_n)＞(x/4)*(1/√M)=√x/4
当x→∞时，有lim √x/4→∞。
由于这p(1,1)的一般之解的系数是针对无穷大时而设计的，即对于任何的一个子集H(x)，均定其为与自然数集N有相同的基数，有无穷多个元素；故不存在什么取整之步骤，仅以出现概率来计算。所以，当x为有限值时，用一般之解的公式来计算p(1,1)的个数之值时会产生误差(因为x不能被剩余类值的素数整除)。尽管如此，对于规律性的东西，纵然不进行取整之步骤，也能近似地反映出p(1,1)的状况。
因为从系数上分析：对于具有相同特征值的x，x越大，p(1,1)的个数越多： p(1,1)＞lim(√x/4)→∞。
对于不同特征的x，特征值越小，p(1,1)的个数越多：若p＜q , 则
(1-1/p)(1-2/q)＞(1-1/q)(1-2/p) 。
特征越多，p(1,1)的个数也越多：
(1-1/p)＞(1-2/p) 。
当然，这三个因素必须有机地结合起来，才能如实地反映p(1,1)的个数。
下面就哥德巴赫猜想举几个实例，以加深对特征的认识。为了有一个较为清晰的视觉效应，我们在合数处用括号笼之。
设x=2^n。
当x=8时，有:
8=1+7=2+(6)=3+5=(4+4).
当x=16时，有:
16=1+(15)=2+(14)=3+13=(4+12)=5+11=(6+10)=7+(9)=(8+8).
当x=32时，有:
32=1+31=3+29=5+(27)=7+(25)=(9)+23=11+(21)=13+19=(15)+17.
当x=64时，有：
64=1+(63)=3+61=5+59=7+(57)=(9+55)=11+53=13+(51)=(15+49)
=17+47=19+(45)=(21)+43=23+41=(25+39)=(27)+37=29+(35)
=31+(33).
在x=2^n时，只有2的倍数可在同一个w+v元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个w+v元素中相加。
设x=(2^n)(3^m)。
当x=6时，有：
6=1+5=2+(4)=3+3.
当x=12时，有：
12=1+11=2+(10)=3+(9)=(4+8)=5+7=(6+6).
当x=18时，有：
18=1+17=2+(16)=3+(15)=(4+14)=5+13=(6+12)=7+11=(8+10)=(9+9).
当x=24时，有：
24=1+23=3+(21)=5+19=7+17=(9+15)=11+13.
当x=36时，有：
36=1+(35)=3+(33)=5+31=7+29=(9)+27=11+(25)=13+23=(15+21)=17+19.
当x=48时，有：
48=1+47=3+(45)=5+43=7+41=(9+39)=11+37=13+(35)=(15+33)
=17+31=19+29=(21+27)=23+(25).
在x=(2^n)(3^m)时，只有2的倍数和3的倍数可在同一个a+v元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个w+v元素中相加。
设x=(2^n)(5^m)。
当x=10时，有：
10=1+(9)=2+(8)=3+7=(4+6)=5+5.
当x=20时，有：
20=1+19=2+(18)=3+17=(4+16)=5+(15)
=(6+14)=7+13=(8+12)=(9)+11=(10+10).
当x=40时，有：
40=1+(39)=3+37=5+(35)=7+(33)=(9)+31=11+29=13+(27)
=(15+25)=17+23=19+(21).
当x=50时，有：
50=1+(49)=3+47=5+(45)=7+43=(9)+41=11+(39)=13+37
=(15+35)=17+(33)=19+31=(21)+29=23+(27)=(25+25).
当x=80时，有：
80=1+79=3+(77)=5+(75)=7+73=(9)+71=11+(69)=13+67
=(15+65)=17+(63)=19+61=(21)+59=23+(57)=(25+55)
=(27)+53=29+(51)=31+(49)=(33)+47=(35+45)=37+43=(39)+41
在x=(2^n)(5^m)时，只有2的倍数和5的倍数可在同一个w+v元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个w+v元素中相加。
设x=(2^n)(3^m)(5^k)。
当x=30时，有：
30=1+29=3+(27)=5+(25)=7+23=(9+21)=11+19=13+17=(15+15).
当x=60时，有：
60=1+59=3+(57)=5+(55)=7+53=(9+51)=11+(49)=13+47
=(15+45)=17+43=19+41=(21+39)=23+37=(25+35)=(27+33)=29+31.
当x=90时，有：
90=1+89=3+(87)=5+(85)=7+83=(9+81)=11+79=13+(77)
=(15+75)=17+73=19+71=(21+69)=23+67=(25+65)=(27+63)
=29+61=31+59=(33+57)=(35+55)=37+53=(39+51)=41+(49)
=43+47=(45+45).
在x=(2^n)(3^m)(5^k)时，只有2的倍数、3的倍数和5的倍数可在同一个w+b元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个w+v元素中相加。
综上所述，说明解GC问题的工具是全概率公式，而不是所谓的解析数论也。
胡思之写于05-05-29. |
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狗仔卡
发表于 2005-5-29 14:51
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