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前  言
素数的识别和哥德巴赫狂想，都是现代世界数学前沿阵地的攻坚战，许多名人做了不懈努力。这里提供的《万以内素数表的制作与十万以内素数的识别》、《关于哥德巴赫猜想的一孔之见》是换一个角度思考的结果。
它提出了多位数素数的识别方法和素数表的制作方法，提出了除2以外的任意两素的和、都是合数的论述。
欢迎各界人士查阅，下载，并提出意见。赞成、反对、质疑、修改，补充等都是意见，都欢迎提供，希望能在七嘴八舌中找到真谛。意见可发给《数学中国》网站或信箱，也可直接奇给作者。
欢迎相关期刊或出版社采用，但须与作者联系后再采用，不要侵犯著作权和署名权。
                                     
     袁锡煌
2007年7月18日
通讯地址：湖南省新化县上梅镇青石街郭家井5栋103号
住宅电话：0738—3522680
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万以内素数表的制作
与十万以内素数的识别
湖南•新化 袁锡煌
关键词语：总汇。
总汇是一个自然数段的素数与貌似素数的集合。总汇中各数的共同特点是没有2、3、5、7、11等因素，个位上的数字都是1、3、7、9。总汇中具有这两个特点，尚未判明是素数还是合数的数称为貌似素数。
素数在自然数列中的分布没有规律，但有其特点。10以内的素数是2、3、5、7四个数。个位为2、5的数，只有在十以内的素数，两位数及两位数以上的多位数中，个位为2、5的数不可能是素数，个位为1、3、7、9的数才可能是素数。
先观察10——100以内素数的确认。
（1）筛去个位为2、4、6、8、5、0的数，留下个位为1、3、7、9的数，剩下的数是：
11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39
41、43、47、49、51、53、57、59、61、63、67、69
71、73、77、79、81、83、87、89、91、93、97、99
（2）筛除个位为1、3、7、9各数中3的倍数；（数中划“—”表示）
（3）筛除个位为1、3、7、9各数中7的倍数；（数下记“…”表示，在3的倍数中已筛除的不记）
经上述三步处理后，剩下的是素数，百以内的素数是：11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
《一》万以内素数表的制作
１、100以上1000以内素数表的制作
分步筛除四类合数.
（1）筛除个位为2、4、6、8、5、0的数，留下个位为1、3、7、9的数。
（2）筛除个位为1、3、7、9各数中3的倍数，方法是将各数位上的数字和等于3的倍数的数除掉。
（3）筛除个位为1、3、7、9各数中7的倍数，方法是利用序数，在个位为1、3、7、9的数中找到一个7的倍数，这个数的前后第7位都是7的倍数。如217是7的倍数，217后第7位是224，前第7位是210，210、224都是7的倍数，前两步已筛去的不记。未筛去的则除掉。
（4）筛除个位为1、3、7、9各数中11的倍数，方法是除利用头、尾和等于中间数的特点外，还要利用序数。因121、671是11的倍数容易辨识，但913=11×83这类11的倍数，很难辨识，利用序数则不容易错漏。方法与筛去7的倍数相同。
11是两位数的素数，因出现频率高，为减少第五步的编幅和工作量，故单独作一类。
下面是经上述四步处理后留下的个位为1、3、7、9的，不含2、3、5、7、11等因数的素数与貌似素数的总汇。总汇中圈去的数是两素数的积，是合数（见两位素数与两位素数乘积表）未圈去的是素数。
100以上1000以下总汇：
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 169 173 179 181 191 193 197 199
211 221 223 227 229 233 239 241 247 251 257 263 269 271 277 281 283 289 293 299
307 311 313 317 323 331 337 347 349 353 359 361 367 373 377 379 383 389 391 397
401 403 409 419 429 431 433 437 439 443 449 457 461 463 467 479 481 487 491 493 499
503 509 569 521 523 527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577 587 589 593 599
601 607 611 613 617 619 629 631 641 643 647 653 659 661 667 673 677 683 689 691 697
701 703 709 713 719 727 731 733 743 751 757 761 767 769 773 779 787 793 797 799
809 811 817 821 823 827 829 839 841 851 853 857 859 863 871 877 881 883 887 893 899
901 907 911 919 923 929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 983 989 991 997
（5）在总汇中除掉两位素数与两位素数的乘积。
两位素数与两位素数乘积表
总汇中各数都是个位为1、3、7、9的数，按两数乘积个位的归属分为四类：
第一类：两数乘积为1的数
两数乘积为1的数有三种组合：a1两因数个位都为1的两数乘积，a 2两因数个位分别为3、7的两数乘积，a 3两因数个位都为9的两数乘积。
a 1个位都为1的两数乘积
31416171
31961
4112711681
61189125013721
712201291143315041
a 2个位分别为3、7的两数乘积
1737476797
132214816118711261
23391851108115412231
437311591202128814171
539011961249135515141
7312412701343148917081
8314113071390155618051
a 3个位都为9的两数乘积
1929597989
19361
29551841
59112117113481
791501229146646241
8916912581525170317921
第二类：两数乘积个位为3的数
两因数乘积个位为3的数有两种组合：b1，两数个位分别为1、3的数，b2，两因数个位分别为7、9的数。
b1：个位分别为1、3的两数乘积
132343537383
314037131333164322632573
415339431763217329933403
6179314032623323344535063
7192316333053376351835893
b2:个位分别为7、9的两数乘积
1929597989
17323493100313431513
377031073218329233293
478931363277337134183
6712731943395352935963
9718432813572376638633
第三类：两数乘积个位为7的数
两因数乘积个位为7的数有两种组合：c1，个位分别为7、1的两数乘积；c2，个位分别为9、3的两数乘积
c1个位分别为7、1的两数乘积
1737476797
315271147145720773007
416971517192727473977
6110372257286740875917
7112072627333747576887
c2个位分别为9、3的两数乘积
132343537383
19247437817100713871577
293776671247153721172407
5976713572537312743074897
79102718173397418757676557
89115720473827471764977387
第四类：两数乘积个位为9的数
两因数乘积个位为9的数有三种组合：d1 两因数个位都为7的两数乘积，
d2,个位都为3的两数乘积，d3，个位分别为1、9的两数乘积。
D1个位都为7的两数乘积
1737476797
17289
376291369
4779917392209
671139247931494489
9716493589455964999409
d2个位都为3的两数乘积
132343537383
13169
23299529
435599891849
53689121922792809
739491679313938695329
83107919093569439960596889
d3个位分别为1、9的两数乘积
1929597989
31589899182924492759
417791189241932393649
6111591769359948195429
7113492059418956096319
100以上1000以内总汇中貌似素数的合数全包含在a1—d3的各因数乘积表中，在总汇中除去这些合数剩下的就是素数。
在总汇中圈去与各乘积表中相同的数。（见总汇中被圈去的数）
将总汇中未圈去的数与百以内的素数合并到一起，就是千以内的全部素数。
千以内的素数表：
2、3、5、7
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293
307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499
503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 677 673 683 691
701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797
809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887
907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
2、千以上万以内素数表制作
千以上万以内的素数特点与百以上千以内的素数特点相同，筛除合数的前四步也相同，不同的是第五步。
千以上万以内的数都是四位数，能构成四位数的因数有一位数乘四位数，一位数乘三位数，因前三步筛除了具有一位数因数的数（包括一位数的素数、合数）故千以上万以内的总汇中不存在一位数乘四位数，一位数乘三位数的乘积，只能是两位数与两位数的乘积，两位数与三位数的乘积。
两位数乘两位数的乘积，在千以内的素数表制作中已作了计算，两位数乘三位数的乘积，可根据千以素数表中的素数与总汇的貌似数的合数计算。
两位素数与三位素数乘积表
两位素数与三位素数乘积按积的归属分成四类：第一类：乘积个位为1的数，第二类：乘积个位为3的数，第三类：乘积个位为7的数，第四类乘积个位为9的数。
第一类，乘积个位为1的数又分成四种组合
A1、两位数、三位数个位都为1的两数乘积；
A2、三位数个位为3、两位数个位为7的两数乘积；
A3、三位数个位为7、两位数个位为3的两数乘积；
A4、三位数与两位数个位都为9的两数乘积；
说明：三位数乘两位数的乘积在万以内的全部作出计算，积在万以上的只作部分计算。
第一类：乘积个位为1的数
A1、二、三位数个位都为1的两数乘积表：
31416171
1013131414161617171
1314061537179919301
15146816191921110721
181561174211104112851
191592178311165113561
211654186511287114981
241747198811470117111
2517781102911531117821
2718401111111653119241
2818711115211714119951
3119641127511897122081
33110261135712019123501
40112431164412446128471
A2、三位数个位为3两位数个位为7的两数乘积表
1737476797
10317513811484169019991
113192141815311757110961
1632771603176611092115811
1732941640181311159116781
1933281714190711293118721
22337918251104811494121631
23339618621109511561122601
26344719731123611762125511
283481110471133011896127451
293498110841137711963128421
3135321433×17=7361443×17=7531
3536001493×17=8381463×17=7871
3736341503×17=8551523×17=8891
3836511563×17=9571593×17=10081
A3、个位为7的三位数与个位为3的两位数乘积表
132343537383
107139124614601567178118881
1271651292154616731927110541
13717813151589172611000111371
15720413611675183211146113031
16721713841718188511219113861
197256145318471104411438116351
227295152219761120311657118841
2573341591111051547×13=7111
2773601637111911557×13=7241
3073991706113201577×13=7501
3174121729113631587×13=7631
3374381775114491607×13=7891
3474511798114921617×13=8021
3674771844115781647×13=8411
3975161913117071677×13=8801
45759411051119651727×13=9451
46760711074120081757×13=9841
4876331 787×13=10231
A4、个位为9的三位数与个位为9的两位数乘积表
1929597989
10920713161643186119701
1392641403182011098112371
1492831432187911177113261
17934015191105611414115931
19937815771117411572117711
22943516641135111809120381
23945416931141011888121271
26951117801158712125123941
349663110121205912757131061
359682110411211812836131951
3797201439×19=8341449×19=8531
3897391479×19=9101499×19=9481
4097771509×19=9671569×19=10811
4197961
第二类：乘积个位是3的数
第二类分成四种组合
B1、三位数个位为1，两位数个位为3的两数乘积；
B2、三位数个位为3，两位数个位为1的两数乘积；
B3、三位数个位为7，两位数个位为9的两数乘积；
B4、三位数个位为9，两位数个位为7的两数乘积；
 B1、三位数个位为1，两位数个位为3的两数乘积表
132343537383
101131323234343535373738383
1311703301356336943956310873
15119633473649380031102312533
18123534163778395931321315023
191248343938213101231394315853
211274348539073
2413133554310363
25132635773
27135236233
28136536463
31140437153541×13=7033571×13=7423
33143037613601×13=7813631×13=8203
40152139223641×13=8333661×13=8593
42154739683691×13=8983701×13=9113
43156039913751×13=9763761×13=9893
461599310603811×13=10543
4916383
5216773
 B2、三位数个位为3，两位数个位为1的两数乘积表
31416171
1033193422362837313
1133503463368938023
16350536683994311573
173536370931055312283
193598379131177313703
223691391431360315833
233722395531421316543
2638153107831604318673
2838773116031726320093
2939083120131787320803
3139703128331909322223
35310943144732153325063
B3、三位数个位为7，两位数个位为9的两数乘积表
1929597989
10720333103631384539523
1272413368374931003311303
1372603397380831082312193
1572983455392631240313973
1673173484398531319314863
19737435713116231556317533
22743136583
25748837453
27752638033
30758338903
31760239193
33764039773
347659310063
667×19=6973    397×19=7543    457×19=8683
467×19=8873    487×19=9253    547×19=10393
B4、三位数个位为9，两位数个位为7的两数乘积表
1737476797
109185340335123730310573
139236351436533931313483
149253355137003998314453
1793043662384131199317363
1993383736393531333319303
22938938473107631534322213
23940638843112331601323183
26945739953126431802326093
349593312913164032338333853
359610313283168732405334823
379644314023178132539336763
389661314393182832606337733
409695315133192232740339673
419712315503196932807340643
439746316243206332941342583
4497633
479×17=8143      499×17=8483      509×17=8653
569×17=9673      599×17=10183     589×17=10013
第三类：乘积个位为7的数
第三类有四种组合
C1、三位数个位为1，两位数个位为7的两数乘积；
C2、三位数个位为7，两位数个位为1的两数乘积；
C3、三位数个位为9，两位数个位为3的两数乘积；
C4、三位数个位为3，两位数个位为9的两数乘积；
C1：三位数个位为1，两位数个位为7的两数乘积表
1737476797
10117173737474767679797
131222748476157877712707
1512567558770971011714647
1813077669785071212717557
1913247706789771279718527
2113587780799171413720467
2414097891711327
25142679287
2714607421×17=7157541×17=9197
2814777431×17=7327571×17=9707
3115287461×17=7837601×17=10217
3315627491×17=8347631×17=10727
4016817521×17=8857
C2、三位数个位为7，两位数个位为1的两数乘积表
31416171
1073317438765277597
1273937520777479017
1374247561783579727
15748676437957711147
167517768471018711857
197610780771201713987
227703793071384716117
2577967105371567718247
2778587113571689719667
3079517125871872721797
3179827129971933722507
33710447138172055723927
C3、三位数个位为9，两位数个位为3的两数乘积表
132343537383
109141725074687577779579047
13918073197597773671014711537
14919373427640778971087712367
17923274117769794871306714857
199258745778557105471452716517
229297752679847121371671719007
2393107549710277126671744719837
2693497618711567142571963722327
3494537802715007184972547728967
359466782571543719027
379492787171629720087
389505789471672720617
409531794071758721677
4195447963718017
439×13=5707   449×13=5837    479×13=6227    499×13=6487
509×13=6617   569×13=7397    599×13=7787    619×13=8047
659×13=8567   709×13=9217    719×13=9347   739×13=9607
769×13=9997   809×13=10517   589×13=7657
C4、三位数个位为3，两位数个位为9的两数乘积表
1929597989
10319572987607781379167
113214732776667892710057
1633097472796171287714507
17332875017102071366715397
19336675597113871524717177
22342376467131571761719847
23344276757137471840720737
26349977627155172077723407
28353778207166972235725187
29355678497172872314726077
31359479077184672472727857
353670710237
373708710817
3837277
4338227
4438417
4638797 503×19=9557 563×19=10697
5239937
第四类：乘积个位为9的数
第四类有四种组合：
D1、三位数个位为1两位数个位为9的两数乘积；
D2、三位数个位为9，两位数个位为1的两数乘积；
D3、三位数两位数个位都为3两数乘积；
D4、二、三位数个位都为7的两数乘积；
D1、三位数个位为1两位数个位为9的两数乘积表
1929597989
10119192929595979798989
1312489379977291034911659
1512869437989091192913439
18134395249106791429916109
19136295539112691508916999
21140096119124491666918779
24145796989 421×19=7999
25147697279 431×19=8189
27151497859 461×19=8759
28153398149 491×19=9329
31159099019 521×19=9899
33162899599 541×19=10279
401761911629
D2、三位数个位为9，两位数个位为1的两数乘积表
31416171
1093379446966497739
1394309569984799869
14946196109908910579
179554973391091912709
199616981591213914129
229709993891396916259
23974099799
269833911029
3491081914309
D3、三位数两位数个位都为3两数乘积表
132343537383
103133923694429545975198549
113146925994859598982499379
16321193749700986391189913529
17322493979743991691262914359
193250944398299102291408916019
223289951299589118191627918509
2333029535910019123491700919339
2633419604911309139391919921829
28336796509493×13=6409653×13=8489
29338096739503×13=6539673×13=8749
31340697199523×13=6799683×13=8879
35345898119563×13=7319743×13=9659
37348498579593×13=7709773×13=10049
38349798809613×13=7969733×13=9529
43356299959643×13=8359
443575910189
D4、二、三位数个位都为7的两数乘积表
1737476797
107181939595029716910379
127215946995969850912319
137232950696439917913289
1572669580973791051915229
1672839617978491118916199
1973349728992591319919109
22738598399106691520922019
25743699509
277470910249
307521911359547×17=9299
317538911729557×17=9469
337572912469577×17=9809
347589912839587×17=9979
367623913579607×17=10319
397674914689617×17=10489
457776916909
467793917279
4878279
千以上万以内的总汇中存在两位数素数与三位数的合数乘积
千以内总汇中被圈去的都是合数，留下的都是素数。千以内总汇中被圈去的都是两素数的乘积，但千以上万以内的总汇中圈去两素数的乘积后留下的不一定都是素数。如13×23=299、299是被圈去的合数。299×23=6877、6877显然是合数。因6877不是2、3、5、7、11的倍数，不可能在前四步筛除，也不是两素数的乘积，不可能在两素数的乘积中筛除，必然留在万以内总汇中。仅管千以内的总汇中不存在这类合数，但千以上万以内的总汇中必然存在这类合数。
为什么千以内的总汇中没有素数与合数的乘积呢？
因为一位数、两位数的合数都是2、3、5、7的倍数，这类倍数在前三步都被筛除了，留下的一位数，两位数都素数，即十以内，百以内的总汇中没有貌似素数的合数，都是明显的素数。
百以上千以内的总汇中的数都是三位数，只有两位数乘两位数的积，两位数的总汇中没有合数，故千以内的总汇中没有素数与合数的乘积。
两位数的素数与三位数的合数乘积表
（这里的合数指总汇中貌似素数的合数）
两位数的素数与三位数的合数乘积，按积的归属分成四类
第一类，乘积个位为1的两数乘积，第二类，乘积个位为3的两数乘积；第三类，乘积个位为7的两数乘积，第四类，乘积个位为9的两数乘积。
上述四类乘积在万以内的全部计算，其积在万以上的只作部分计算
第一类：乘积个位为1的两数乘积表
a1、素数合数个位都为1的两数乘积表
31416171
221685190611348115691
a2、素数个位为7，合数个位为3的两数乘积表
1737476797
403685114911
533906119721
323549111951
493838118241
a3、素数个位为3，合数个位为7的两数乘积表
132343537383
2473211568110621
3774901867116211
767997117641
437568110051
667867115341
527685112121
697906116031
81710621
a4、素数、合数个位都为9的两数乘积表
1929597989
2895491838117051
16932114901997113351
2995681664113511
55910621
52910051
第二类 乘积个位为3的数
b1.素数个位为1,合数个位为3的两数乘积表,没有万以内的乘积,(故略)
b2 素数个位为3,合数个位为1的两数乘积表
132343537383
22128735083950311713
3915083899316813
731950316813
481625311063
611794314053
36146938303
551716312673
b3 素数个位为9,合数个位为7的两数乘积表
1929597989
2474693716314573
377716310933
437830312673
b4 素数个位为7,合数个位为9的两数乘积表
1737476797
289491310693
16928736253794311323
29938978437
559950320683
529899319573
58910013
第三类 乘积个位为7的数
c1 素数个位为3,合数个位为9的两数乘积表
132343537383
16921973887726789571233714027
2893757664712427
2993887687712857
529687712167
589765713547
629817714467
689895715847
79910387
c 2 素数个位为9,合数个位为3的两数乘积表
1929597989
3236137936719057
403765711687
4939367
53310127
c3素数个位为1,合数个位为7的两数乘积表
31416171
247765710127
37711687
c4 素数个位为7,合数个位为1的两数乘积表
1737476797
2213757817710387
361613713357
391664714467
4818177
5519367
61110387
第四类,乘积个位为9的数
d1,素数合数个位都为7的两数乘积
1737476797
2474199913911609
377640913949
437742916169
5278959
66711339
d2,素数合数个位都为3的两数乘积
132343537383
3234199742913889
40352399269
533692912259
7039139
7139269
79310309
d3,素数个位为1,合数个位为9的两数乘积表
31416171
1695239692910309
289895911849
2999269
62919499
d4,素数个位为9.合数个位为1的两数乘积表
1929597989
2214199640913039
361685910469
391742911339
4819139
55110469
另外,合数与合数的乘积也是合数,如169×221=37349，169、221 都是合数,37349是两数的乘积,当然是合数.但这类合数万以内的总汇中不存在,在万以上的总汇中才会出现,因为万以内的数最多是四位数,因式最多是两位数乘三位数,两位数的总汇中没有两位数的合数,两位合数乘三位合数不存在,三位合数乘三位合数的积大于10000,故万以内的总汇中不存在合数与合数乘积,只有万以上的总汇中才有合数与合数的乘积.
                    1000—2000以内素数表的制作
前四步与千以内的素数表制作相同,第一步排除个位是2.4.6.8.5.0的数,留下个位是1.3.7.9的数,第二三四步分别排除3.7.11的倍数;求得不含2.5.3.7.11等因数的貌似素与素数总汇:
总汇中“      ”内的数是两位素数与两位素数的乘积或两位素数与三位素数的乘积。
1003  1007  1009  1013  1019  1021  1027  1031  1033  1037  1039  1049  1051  1061  1063  1069  1073  1079  1081  1151  1087  1091  1093
1097  1103  1109  1117  1121  1123  1139  1147  1153  1157  1159  1163  1171  1181  1187  1189  1193
1201  1207  1213  1217  1219  1223  1229  1231  1237  1241  1247   1249  1259  1261  1271  1273  1277  1279  1283  1289  1291  1297
1301  1303  1307  1313  1319  1321  1327  1333  1339  1343  1349 1357  1361
1363  1367  1369  1373  1381  1387  1391  1399
1403  1409  1411  1417  1423  1427  1429  1433  1439  1447  1451  1453  1457  1459
1469  1471  1481  1483  1487  1489  1493  1499
1501  1511  1513  1517  1523  1531  1537  1541  1543  1549  1553  1559  1567  1571
1577  1579  1583  1591  1597
1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1633  1637  1643  1649  1651  1657  1663  1667  1669
1679  1681  1691  1693  1697  1699
1703  1709  1711  1717  1721  1723  1733  1739  1741  1751  1753  1759  1763
1769  1777  1781  1783  1787  1789
1801  1807  1811  1817  1819  1823  1829  1831  1843  1847  1849  1853  1861  1867  1871  1873  1877  1879  1889  1891
1901  1907  1909  1913  1919  1921  1927  1931  1933  1937  1943  1949  1951  1957
1961  1963  1973  1979  1987  1993  1997  1999
1000—2000以内的素数表
1009  1013  1019  1021  1031  1033  1039  1049  1051  1061  1063  1069  1087
1091  1093  1097
1103  1109  1117  1123  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193
1201  1213  1217  1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1289
1291  1297
1301  1303  1307  1319  1321  1327  1361  1367  1373  1381  1399
1409  1423  1427  1429  1433  1439  1447  1451  1453  1459  1471  1481  1483  1487  1489  1493  1499
1511  1523  1531  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1579  1583  1597
1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1637  1657  1663  1667  1669  1993  1697  1699
1709  1721  1723  1733  1741  1747  1753  1759  1777  1783  1787  1789
1801  1811  1823  1831  1847  1861  1867  1871  1873  1877  1879  1889
1901  1907  1913  1931  1933  1949  1951  1973  1979  1987  1993  1997  1999
2000—3000 以内的素数表
制作方法与1000—2000以内的素数表制作方法基本相同 不同的是2000----3000以内的总汇中存在两位素数与三位合数的乘积，多了从总汇中除掉这类乘积的环节。
省去了制作过程，只写出素数表。以下同。
2003  2011  2017  2027  2029  2039  2053  20 63  2069  2081  2083  2087  2089  2099
2111  2113  2129  2131  2137  2141  2143  2153  2161
2203  2207  2221  2237  2239  2243  2251  2267  2269  2273  2281  2287  2293  2297
2309  2311  2333  2339  2341  2347  2351  2357  2371  2377  2381  2383  2389  2393  2399
2411  2417  2423  2437  2441  2447  2459  2467  2473  2477
2503  2521  2531  2539  2543  2549  2551  2557  2579  2591  2593
2609  2617  2621  2633  2647  2657  2659  2663  2671  2677  2683  2687  2689  2693  2699
2707  2711  2713  2719  2729  2731  2741  2749  2753  2767  2777  2789  2791  2797
2801  2803  2819  2833  2837  2843  2851  2857  2861  2879  2887  2897
2903  2909  2917  2927  2939  2953  2957  2963  2971  2999
3000—4000以内的素数表
3001  3011  3019  3023  3037  3041  3049  3061  3067  3079  3083  3089
3109  3119  3121  3163  3167  3169  3181  3187  3191
3203  3209  3217  3221  3229  3251  3253  3257  3259  3271  3299
3301  3307  3313  3319  3323  3329  3331  3343  3347  3361  3371  3373  3389  3391
3407  3433  3449  3457  3461  3463  3467  3469  3491  3499
3511  3517  3527  3529  3539  3541  3547  3557  3559  3571  3581  3583  3593
3607  3613  3617  3623  3631  3637  3643  3659  3671  3673  3677  3691  3697
3701  3709  3719  3727  3733  3739  3761  3767  3769  3779  3793  3797
3803  3821  3823  3833  3847  3851  3853  3863  3877  3881  3889
3907  3911  3917  3919  3923  3929  3931  3943  3947  3959  3967  3989  3997
4000—5000 以内的素数表
4001  4003  4007  4013  4019  4021  4027  4049  4051  4057  4073  4093  4097  4099
4111  4127  4129  4133  4139  4153  4157  4159  4177
4201  4211  4217  4219  4229  4231  4241  4243  4253  4259  4261  4271  4273  4283  4289  4297
4327  4337  4339  4349  4357  4363  4373  4397  4409  4421  4423  4441  4447  4451  4457  4463  4481  4483  4493
4507  4517  4519  4523  4547  4549  4561  4567  4583  4591  4597
4603  4621  4637  4643  4649  4651  4657  4663  4673  4679  4691
4703  4721  4723  4729  4733  4751  4759  4783  4787  4798  4793  4799
4801  4813  4817  4831  4861  4871  4877  4889  4903  4909  4919  4931  4933  4937  4943  4951  4957  4967  4969  4973  4987  4993  4999
5000—6000以内的素数表
5003  5009  5011  5021  5023  5039  5051  5059  5077  5081  5087  5099
5101  5107  5113  5119  5147  5153  5167  5171  5179  5189  5197
5209  5227  5231  5233  5237  5261  5273  5279  5281  5297
5303  5309  5323  5333  5347  5351  5381  5387  5393  5399
5407  5413  5417  5419  5431  5437  5441  5443  5449  5471  5477  5479  5483
5501  5503  5507  5519  5521  5527  5531  5557  5563  5569  5573  5581  5591
5623  5639  5641  5647  5651  5653  5657  5659  5669  5683  5689  5693
5701  5711  5717  5737  5741  5743  5749  5779  5783  5791
5801  5807  5813  5821  5827  5839  5843  5849  5851  5857  5861  5867  5869  5879  5881  5897
5903  5923  5927  5939  5953  5981  5987
6000—7000以内素数表
6007  6011  6029  6037  6043  6047  6053  6067  6073  6079  6089  6091
6101  6113  6121  6131  6133  6143  6151  6163  6173  6199
6203  6211  6217  6221  6229  6247  6257  6263  6269  6271  6277  6289  6299
6301  6311  6317  6323  6329  6337  6343  6353  6359  6361  6367  6373  6379  6389
6421  6427  6449  6451  6469  6473  6481  6491
6521  6529  6547  6551  6553  6563  6569  6571  6577  6581
6607  6619  6637  6653  6659  6661  6673  6679  6689  6691
6701  6703  6709  6719  6733  6761  6763  6779  6781  6791  6793
6803  6823  6827  6829  6833  6841  6857  5863  6869  6871  6883  6899
6907  6911  6917  6947  6949  6959  6961  6967  6971  6977  6983  6991  6997
7000—8000以内的素数表
7001  7013  7019  7027  7039  7043  7057  7069  7079  7103  7109  7121  7129  7151  7159  7177  7187  7193
7207  7211  7213  7229  7237  7243  7247  7253  7283  7297
7307  7309  7321  7331  7349  7351  7369  7393
7411  7433  7451  7457  7459  7477  7481  7487  7489  7499
7507  7523  7529  7537  7541  7547  7549  7559  7561  7573  7577  7583  7589  7591
7603  7607  7621  7639  7643  7649  7669  7673  7681  7687  7691  7699
7703  7717  7723  7727  7741  7753  7757  7759  7789  7793  7817  7823  7829  7841  7853  7867  7873  7877  7879  7883  7901  7907  7919  7927  7933  7937  7949  7951  7963  7993
8000—9000素数表
8009  8011  8017  8039  8053  8059  8069  8081  8087  8089  8093
8101  8111  8117  8123  8147  8161  8167  8171  8179  8191
8209  8219  8221  8231  8233  8237  8243  8263  8267  8273  8287  8291  8293  8297
8311  8317  8329  8353  8363  8369  8377  8387  8389
8419  8423  8429  5431  8443  8461  8467
8501  8513  8521  8527  8537  8539  8543  8563  8573  8581  8597  8599
8609  8623  8627  8629  8641  8647  8663  8669  8681  8689  8693  8699
8707  8713  8719  8737  8741  8747  8753  8761  8779  8783
8803  8807  8819  8821  8831  8837  8839  8849  8861  8863  8867  8887  8893
8923  8929  8933  8941  8951  8963  8969  8971  8999
9000—10000以内素数表
9001  9007  9011  9013  9029  9041  9043  9049  9059  9067  9091
9103  9127  9133  9137  9151  9157  9161  9173  9181  9187  9199
9203  9209  9221  9227  9239  9241  9257  9277  9281  9283  9293
9311  9319  9323  9337  9341  9343  9349  9371  9377  9391
9403  9413  9419  9421  9431  9433  9437  9439  9461  9463  9467  9473  9479  9491  9497
9511  9521  9533  9539  9547  9551  9587  9601  9613  9619  9623  9629  9631  9643  9649  9661  9677  9679  9689  9697
9719  9721  9733  9739  9743  9749  9767  9769  9781  9791
9803  9811  9817  9829  9833  9839  9851  9857  9859  9871  9883  9887
9901  9907  9923  9929  9931  9941  9949  9967  9973
3、万以内素数表的检验
检验万以内的素数表有两种方法，举例说明于下：
检验方法一: 用除法检验
例一,检验万以内素数表中的677是否素数
先用2.3.5.7.11.去除667,都不能整除.
再检验是否两位数的倍数.
设是两位素数的倍数，令两位素数为除数。
最高商位在十位，商是两位数，第一除式的被除数是67
∵20×3=60   30×2=60  10×6=60  60×1=60
除数的十位数在10—60左右
∵677个位为7，两因数个位组合有1×7   3×9  。
∴1、3、7、9都可能是除数个位上的数。
根据百以内素数表提供的素数，用13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67 去除677，都不能整除。
以上说明677不是一位素数的倍数，也不是两位素数的倍数，一位数的合数与两位数的合数都在前三步被筛除了，总汇中留下的两位数中，不可能存在除1以外的一位数的倍数,也不可能存在两位合数的倍数，不可能是两位数与三位数的乘积。
故677不能分成两个数的乘积，是素数。
例二，检验7529是否素数。
先分别用2、3、5、7、11、去除7529 。都不能整除。
再检验是否两位素数的倍数。
设除数为两位数，最高商位在百位，商是三位数。
第一除式的被除数是75
∵20×3=60  30×2=60   70×1=70  10×7=70
∴除数的十位数在10以上至75以下。
∵7259个位为9，两因数的个位组合有1×9  3×3  7×7  
∴1、3、7、9都可能是除数的个位数。
查百以内的素数表，用13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、去除7529。都不能整除，
再设除数为两位数最高商位在十位，商为两位数。
第一除式的被除数为752
∵80×9=720   90×8=720  
∴除数十位数在79—90左右。
∵7529个位为9，两因数个位组合有1×9   3×3   7×7  
∴除数个位上的数，1、3、7、9、都可能存在。
查百以内的素数表，用79、83、89、97去除7529 。都不能整除。
以上说明7529 不是两位素数与两位素数的乘积，也不是两位素数与三位素数或三位合数的乘积。且与例一样，不可能是一位数的倍数，三位数乘三位数最少是五位数，7529是四位数，不可能是三位数与三位数的乘积。
故7529不能分成两个数的乘积，是素数。
例三、检验9973是否素数
先用2、3、5、7、11去除9973，都不能整除。
再检验是否两位素数的倍数
设是两位数的倍数，令两位素数为除数，若最高商位在百位，商是三位数。
第一除式的被除数99。
∵30×3=90   90×1=90    10×9=90
∴除数的十位数在10以上至30左右，或80左右至90 左右用13、17、29、31、37、41、43、47、83、97去除9973，都不能整除。
若除数是两位数最高商位在十位，商是两位素数。
第一除式的被除数是997，9973除以最大的两位数97，最高商位也不可能在十位
9973除以两位素数，得不到三位数的整商，也不存在两位数的整商，且9973不是一位数乘三位数或一位数乘四位数的积，也不属三位数乘三位数的乘积，故9973是素数。
2、用查表法检验
例一: 检验4153是否素数
4153不是2、3、5、7、11的倍数
查两位素数与两位素数乘积表的b1、b2两位数与三位素数乘积表的B1---B4，查两位素数与三位合数乘积表的B1—B4，乘积个位为3的乘积表中都没有4153这个数，故4153是素数。
例二，检验6827是否素数
4153不是2、3、5、7、11的倍数且在两位数乘两位素数，两位素数乘三位素数，两位素数乘三位合数的个位为7的乘积表中都没有6827，故6827是素数。
《二》.万以上十万以内素数的识别。
万以上十万以内素数表的制作与万以内素数表制作的前四步相同，区别在第五步。
万以上十万以内的数是五位数，因式有一位数乘四位数，一位数乘五位数、两位数乘三位数、两位数乘四位数、三位数乘三位数等情况。因经前三步处理后，总汇中不存在一位数的因数，故总汇中一位数乘四位数、一位数乘五位数的因式不存在。
万以上十万以内素数表制作前须作好以下乘积表：
1.将万以内素数表制作中已作出但未作完整的两位数乘三位数的乘积表作完整。包括两位素数与三位素数乘积表，两位素数与三位合数乘积表。（三位数的合数指总汇中貌似素数的合数。下同。）
2.作出两位素数与四位素数乘积表及两位素数与四位合数乘积表。
3.作出三位素数与三位素数乘积表，三位素数与三位合数乘积表，三位合数与三位合数乘积表。
在万以上十万以内的总汇中除去上述各乘积表中的积，剩下的就是万以上十万以内的素数。有了十万以内的素数表，就可以作百万以内的素数表。这样一个台阶一个台阶的上，素数表的制作可随着自然数列为延伸而延伸。
万以上十万以内素数表的制作工作量大，也不常用，故略。
万以上十万以内素数识别步序：
1.检验是否2.3.5.7.11的整倍数。
2.检验是否两位素数的倍数（倍数可以是三位数或四位数，三、四位数都可以是素数或合数）
3.检验是否是三位数与三位数的乘积。（包括三位素数与三位素数，三位素数与三位合数、三位合数与三位合数和乘积）
万以上十万以内素数识别举例：
例一、求证34243是否素数
证明：分别用2.3.5.7.11去除34243
得34243÷11=3113
∵34243=11×3113
∴34243不是素数
例二、求证13113是否素数
证明：分别用2、3、5、7、11去除以13113都不能整除。
设是两位素数的倍数，令两位素数为除数
若最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被除数是131。
∵30×4=120、40×3=120、60×2=120、20×6=120
∴除数的十位数在20——60之间。
13113个位数为3，两因数个位组合有3×1、7×9，即1、3、7、9都可能是除数个位上的数。
百以内的素数表中可能是除数的素数有23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67。分别用可能存在的两位素数去除13113，
得13113÷31=423
∵13113=31×423
∴13113不是素数。
例三、求证72683是否素数
证明：72683不是2、3、5、7、11的倍数
设是两位素数的倍数
若最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被除数是726
∵80×9=720、90×8=720、70×9=630、90×7=630
∴除数的十位数在70—90左右
∵72683个位数为3 ，两因数个位组合有1×3、7×9
∴1、3、7、9都可能是除数个位上的数字
∴两位数的除数可能是71、73、79、83、89、97。
分别用上述可能是除数的数去除72683，都不能整除。再设是两位素数与四位数的乘积，令两位素数为除数，商为四位数，最高商位在千位。第一除式的被除数是72。
∵20×3=60、30×2=60、10×7=70、70×1=70
∴除数的十位数在10以上至70左右
∵72683个位为3
∴1、3、7、9都可能是除数个位上的数
查表，用10以上至70左右的素数去除72683
得：72683÷13=5591
∵72683=13×5591
∴72683不是素数
例四、求证83659是否素数
证明：1.经检验，不是2、3、5、7、11的倍数，令两位素数为除数，最高商位在百位，商是三位数，第一除式的被除数是836
∵80×9=720、90×9=810
∴除数十位数在80—90左右
用83、97去除83569，不能整除。
2.再令最高商位在千位，商是四位数，第一除式的被除数是83
∵10×7=70、70×1=70、20×3=60、30×2=60、40×2=80
∴除数在10以上至80左右
用10以上至80左右的素数去除83659，都不能整除
3.设为三位数与三位数和乘积
令三位素数为除数，第一除式的被除数为836
∴200×4=800、400×2=800、300×2=600、800×1=800
除数的百位数在200—400之间，或在600——800之间，先查表用200——400之间的素数去除83659
得83659÷311=263
∵83659=311×269
∴83659不是素数
例五、求证92243是否素数
证明：1.经检验，不是2、3、5、7、11的倍数
2.查百以内素数表,用两位素数去除92243,所有两位素数都不能整除
3.查是否三位素数的倍数
用三位素数作除数,若最高商位在百位,商是三位数,第一除式的被除数是922
∵300×2=600、400×2=800、800×1=800、900×1=900
∴除数在300——900之间
∵92243个位为3，两因数个位组合有1×3、7×9
∴1、3、7、9都可能是除数的个位数
查千以内素数表用300——900之间的全部素数去除92243，都不能整除
若最高商位在十位，商是两位数，除数应大于922，用大于922的三位素数去除也不能整除。
4、设两个因数都是三位数的合数
查两位素数乘两位素数乘积表，得300——922之间貌似素数的合数如下：
391、731、901、851、481、611、871、361、551、841、403、533、713、323、703、893、493、527、697、377、767、437、667、817、629、799、299、559、689、529、589、779、899
用上述合数去除92243，也都不能整除
以上说明没有两位数的素数、三位数的素数、三位数的合数能整除92243
自然数列中各自然数段的总汇中没有两位数的合数。即没有貌似素数的两位数的合数
因两位素数去除92243，商可以是四位数，也可以是三位数，且可以是素数，也可以 是合数。不能整除，说明没有四位数的素数或合数能整除92243。即除上述四种情况外，再没有其他可以整除92243的因数，故92243是素数。
关于哥德巴赫猜想的一孔之见
——除2以外的任意两素数的和都是合数
在《万以内素数表的制作与十万以内素数的识别》一文中，阐述了个位为2的数，只有在10以内的数中是素数，在10以上的多位数中，个位为2的数不可能是素数，只有个位为1、3、7、9的数才可能是素数。换而言之，2是自然数列中唯一是偶数的素数，2以外的其他素数都是奇数。
除10以内的2既是偶数又是素数外，自然数列中的其他偶数都是合数，不是素数。如：8、12、36、108、12354等偶数都是合数。
两个奇数的和都是偶数，故两个奇数的和都是合数，如3125+43547=46672，46672是偶数，也是合数。
因除2以外的素数都是奇数，两奇数的和都是偶数，故除2以外的两素数的和都是合数。
这个结论是容易理解也容易检验的。
在万以内的素数表中任找几个素数计算一下就清楚了。
如：3673+19=3692
∵3692=923×4      ∴3692是合数
哥德巴赫猜想中的素数包括2在内，两素数的和不一定是合数。
2+2=4，4是合数，但2加上2以外的其他一个素数，其和必然是奇数，奇数不一定是合数，也不一定是素数，如素数641+2=643，643是素数，不是合数，又如13+2=15，15是合数不是素数。
哥德巴赫猜想，若把2作为一个特殊的素数排除在外，猜想是切合实际的，若包括2在内，猜想只是猜想。 |
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发表于 2007-7-17 10:56
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