在同样周长的平面图形中，圆的面积最大。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/06/20 11:26pm 第 2 次编辑]

下面通过几个定理，推导出在等周长的平面图形中，圆的面积最大：

ywl

对原命题如此证明，失去一般性。应证明以下两个命题。
1.同样周长的平面图形中，凸形的面积最大。
2..同样周长的简单闭曲线集合中，圆的面积最大。

谢芝灵

2．所有周长相等的平面图形中存在面积最大的图形，则这个图形必定是圆。
证:在图中取一点A.再把周长分成m等分.当m无限大时,则每等分接近一直线a..
把此直线两端点与A点相连,得到一个△.则图中有m个△.设它们的高
按大小依次为:h1.h2,h3....km..即:
S=ah1/2+ah2/2+ah3/2+...+ahm/2
S=a(h1+h2+h3+...+hm)/2......(1)
取平均值,设:   (h1+h2+h3+...+hm)/m=h....(2).代入(1)式得:
S=amh/2.....(3).其中am是周长.是定值.S最大,取决h.由(2)式得:
h1+h2+h3+...+hm=m*h.由算术平平方根原理得,h有最大值,必须:由
h1≥h2≥h3≥...≥hm.取h1=h2=h3=...=hm..(注:可用完全归纳法证:m=1时,
h1=1*h.成立有:h1=h.,假设m=n,时也成立,即h1+h2+h3+...+hn=n*h.成立.
即h1=h2=h3=...=hn=h..当m=n+1时有:
h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)=h1+n*h.(即:h2=h3=...=hm=h)
h1+h2+h3+...+hn+hm=h2+(h1+h3+...+hm)=h2+n*hf.(即:h1=h3=..=hm=hf.由上式得h3=h.此式有h3=hf.故有:h=hf.以下的情况全可用h.)
h1+h2+h3+...+hn+hm=h3+(h1+h2+...+hm)=h3+n*h
　
...............................
h1+h2+h3+...+hn+hm=hn+(h1+h2+...+hm)=hn+n*h
相加得:n(h1+h2+h3+...+hn+hm)=n*h+n*n*h=n(n+1)h
      得:h1+h2+h3+...+hn+hm=(n+1)h...即:n+1成立.
由h1=h2=h3=...=hm.得:A点为圆心.h1=h2=h3=...=hm=半径.;
(3)式为:圆面积=周长×半径÷2.
证毕
全是我自己的思路.绝对比前人好!我从不吃别人吃过的东西.
  注意,第三步中用到假设m=n的东西.
大家可反思.我证题是从两只手出发,用已知条件伸一手,叫实手.从结论伸一虚手.
二只手产生接触,即: S=amh/2.....(3).即h最大时必有:h1=h2=h3=...=hm..
否则是假命题.

谢芝灵

其实我的证明还可简化:
  第三步:m=n+1.
h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)=h1+n*h.
有::h2=h3=h4=...=hm=h.....(4)
又:h1+h2+h3+...+hn+hm=h2+(h1+h3+...+hm)=h2+n*hf
有:h1=h3=h4=...=hm=hf.....(5)
  由(4)式(5)式得:h2=h3=h=h1=hf.
得:h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)=h1+n*h.=(n+1)h
  有:h1=h2=h3=...=hm=h.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/22 07:27pm 第 1 次编辑]

楼上的证明中说：
“即 h1=h2=h3=...=hn=h..这点很重要.”（这是归纳假设，没错。）
“当m=n+1时有: h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)=h1+n*h”
这一步就错了。请问：这里为什么有 “h2+h3+...+hm=n*h” ?
注意：hm 就是 h(n+1) ，在归纳假设中设已知有“h1=h2=h3=...=hn=h”，但并没有设 hm=h(n+1)=h 。
所以，只能说有“h2+h3+...+hm=(n-1)*h+hm”，不能说有“h2+h3+...+hm=n*h”。

谢芝灵

你这点都不懂?
  假设m=n成立.即:假设h1+h2+h3+...+hn=n*h和h1=h2=h3=...=hn=h.这种模式成立.
  由:h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)
  显然h2+h3+...+hm)只有n个数,所以乎合:m=n模式.可令
   h2+h3+...+hm)=nP.且:h2=h3=...=hm=P.(我用P不用h.否则你又乱了)
  得:h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)=h1+nP
   又:h1+h2+h3+...+hn+hm=h2+(h1+h3+...+hm)=h2+n*hf
  且有:h1=h3=...=hm=hf.
  综合得:h3=P.又:h3=hf.得=hf.
  即:h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)=h1+nP
     h1+h2+h3+...+hn+hm=h2+(h1+h3+...+hm)=h2+n*hf=h2+nP
   用h和用P不是一样?
  完全归纳法中的第二步假设是包含所有m=n的都假设成立.
   在假设m=n中只有n个数:h1,h2.h3,...hn.
  当m=n+1时,是多了一个数(hm).即:h1,h2,h3,,,hn,hm.
  注意:hm不是h(n+1)

谢芝灵

完全归纳法的原理:
  第一步确定一个基础必须成立.
  .在本题中:n=1.即只有一个数:h1=1*h.成立有:h1=h.
第二步:假设m=n成立.(也包含了所有小于n的情况都成立.)
  在本题中即h1+h2+h3+...+hn=n*h时有:h1=h2=h3=...=hn=h成立.
同理任何一纲数如果是n个.必存在平均值::X1+X2+X3+...+Xn=nY.当Y最大时,也有:
  X1=X2=X3=...=Xn=Y成立.
  第三步:看m=n+1.即增加一个数时,是否成立.(可用现有的定理,也可用假设的条件)
  本题中: h1+h2+h3+...+hn+hm=h1+(h2+h3+...+hm)
  由于m=n假设成立,可令h2+h3+...+hm)=n*P.(即P是平均值)
  因为m=n假设成立.即P有最大值时::h2=h3=...=hm=P
  又:h1+h2+h3+...+hn+hm=h2+(h1+h3+...+hm).同理可令:
  h1+h2+h3+...+hn+hm=h2+(h1+h3+...+hm)=h2+n*hf.
  同理有::h1=h3=...=hm=hf..
  综合得:h1=h2=h3=...=hm=P=hf.
  这样证明了圆心和半径.后略.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/22 07:27pm 第 1 次编辑]

楼上的证明，只要简单想一想，就知道肯定是不成立的。
在楼上的归纳法证明中，完全没有用到“平面图形面积达到最大”的条件。
如果楼上的归纳法证明成立，设 h1,h2,h3,…,hn 是我随意写出的没有任何实际意义的一串数字，
我用楼上的那一套证明方法，一字不用修改，就可以证明出必有 h1=h2=h3=…=hn 。这怎么可能呢？！

谢芝灵

别忘了,代数几何是相通的.
任何几何图都有代数式.任何代数式都可用几何表达.
你任意一组数,能得到一个图,但不一定是圆.当h最大时,且h1=h2=...hm=h.此时的
图才是圆.记住:h在:h1+h2+h3+...+hn=n*h中是个变量.由h1,h2,..hm.决定大小.
  即h最大时,有:h1=h2=...=hm=h.
也乎合四边形:当m=4.如果h有最大值,即h1=h2=h3=h4.这个四边形就是个正方形.
  面积肯定在四边形中最大.
我不能证代数吗?最后证明那个图接近圆.因为m是无限大的.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/22 07:28pm 第 1 次编辑]

我仿照楼上的证明，来证明下列命题：
命题  设 h1,h2,...,hn 是任何一组数或任何一组几何量，则必有 h1=h2=...=hn 。
证 第一步：n=1 时，只有 1 个 h1 ，命题自然成立。
   第二步：假设 m=n 时命题成立，即：假设 h1=h2=h3=...=hn 这种模式成立。
   第三步：看 m=n+1 时的情形：
  
   显然： h2,h3,...,hm 只有n个数，所以合乎 m=n 模式，可令 h2=h3=...=hm 。（这是楼上证明中最关键的一步 ）
   再加上假设已知有  h1=h2=h3=...=hn ，所以 h1=h2=h3=...=hn=hm 。可见 m=n+1 时命题也成立。
   所以，对任何 h1,h2,...,hn ，必有 h1=h2=...=hn 。
竟然证出这样的结果，是不是很荒谬？
由此可见，这种证明肯定是错误的。错在哪里？错就错在上面指出的关键的那一步。