由欧氏几何平行公理的矛盾所引发的数学危机

一线天

本文作者:内蒙古根河市板业公司:李冕(手机:13644809845)
建立一个平面直角座标系，Ｘ轴为横座标，Ｙ轴为纵座标，Ｘ轴与Ｙ轴交于原点Ｏ，在Ｙ轴原点Ｏ的上方确定一点Ａ，过Ａ点做一条与Ｘ轴平行的直线．设这条直线为直线Ｌ．
然后，再以Ｏ点为起点在座标系的第一象限处引出来一条射线，此射线必与直线Ｌ相交．
可以这样设想：先让此射线沿逆时针方向旋转，当射线与Ｙ轴完全重合时，射线与Ｘ轴的角度为９０度．
然后，再将此射线沿顺时针方向旋转，则此射线必一一经过直线Ｌ的正半区间内的所有点，而且此射线与Ｘ轴的夹角的角度越小，此射线与直线Ｌ的交点的距离越远，当射线与Ｘ轴的夹角为无穷小时，射线与直线Ｌ的交点的距离为无穷远．
当此射线与Ｘ轴的夹角的角度为０度的时候，则此射线与Ｘ轴完全重合，则与直线Ｌ平行，根据欧氏几何平行公理，两条平行线永无交点，说明此射线与直线Ｌ已无交点．
由此引出来一个疑问：射线在沿顺时针方向旋转的时候，必一一经过直线Ｌ上的所有点，当此射线与Ｘ轴重合，与直线Ｌ平行，无交点的时候，射线是否已经过了直线Ｌ的正半区间内的所有点？即：射线是否会经过直线Ｌ的最后一个点？
　假设直线Ｌ上不存在最后一个点，则射线无论如何旋转，都始终与直线Ｌ有交点，则此射线永远也不能与直线Ｌ平行．
　但假如直线Ｌ上存在最后的一个点，则又说明直线Ｌ的长度是有限的，不能够无限延长．
由此说明欧氏几何的平行公理中存在着极为重大的矛盾:要么就是直线L的长度是有限的,不能无限延长,要么就是直线L最终与X轴相交.
关于这个问题,还可以举一个比较形象的比喻:
在直线L的A点处有一只蚂蚁,它延着直线L的正半区间向前走,永不停息的走下去,问这只蚂蚁能不能走出直线L去?(走到直线L之外去)
按照欧氏几何的观点,直线是可以无限延长的,永无止界,所以这只蚂蚁是永远(请注意"永远"两个字)也走不出直线L去的.
但是如果按照在本文中所做的假设,这只蚂蚁却是可以最终走出直线L之外去的:假设这只蚂蚁就在射线与直线L的交点处,当沿顺时针方向旋转射线的时候,这只蚂蚁就始终尾随着射线与直线L的交点后向前走,可以想象:当射线旋转至与X轴的夹角为0度角,即与X轴完全重合的时候,这只蚂蚁也就从直线L上走到了X轴上.
或者也可以这么假设:在直线Ｌ的Ａ点上有一个小铁环，先假设让这个小铁环在直线Ｌ的正半区间滑过，问这个小铁环最终能脱离直线Ｌ吗？
　　按照欧氏几何的观点来说，因为直线是无限延长的，所以这个小铁环永远也脱离不了直线Ｌ．
　　但是按照在本文中所做的假设，小铁环却是可以最终脱离直线Ｌ的：假设小铁环在射线与直线Ｌ的交点的前面，当射线沿着顺时针方向旋转的时候，射线推动着小铁环向前滑动，当射线与Ｘ轴的夹角为０度角的时候，射线最终将小铁环"扫出"直线Ｌ之外去．
　　因此说：直线Ｌ是有极限的，不能无限延长．

一线天

下面是在东陆论坛上辩论时,一位网名为YSU的网友对这个问题给出来的评价:
>>>俺看明白了。一线天先生其实是想说：
过原点的射线在顺时针旋转到与X轴重合的过程中，将与直线L在1象限内的所有点一一相交。那么：
如果直线L无限长(有无穷多个点)，射线与直线L将永远有交点，因为在无穷多个点的情形下，是不可能有相交完所有点的那一时刻到来，每当认为射线与直线L相交完时，在L上总会有新的没有相交的点被发现，如此才有资格称作无穷。既然永远相交，那么射线与直线L永远不会平行，射线也就永远不可能与X轴重合，但这与事实相矛盾。
因此一线天先生认为：欧氏几何认为直线是无限的观点是错误的。
俺认为，一线天先生的逻辑推理没有任何问题，但结论却是错的。之所以会这样，是因为目前人们对有限与无限的关系还没有完全弄清楚，或者说是人类对所处的时间与空间本质的认识尚不十分深刻所至。类似的问题有：几何点是没有空间尺寸的，却可以构成有空间尺寸的线、面等等不也很矛盾吗？
基于极限理论建立起来的诸多数学理论，虽然发展得枝繁叶茂，十分庞大。
但也仍有许多问题没有解决。俺很欣赏一线天先生独立且深入的思考。>>
  欢迎大家踊跃讨论这个问题.

一线天

李明波大侠:请您来看一下,这个问题更能构成为数学危机.
欧氏几何的内部存在矛盾,几千年来的数学都要重新考虑了.

一线天

本篇文章发表后,有网友说这个悖论与芝诺悖论原理一致,本人认为网友说得很有道理.

一线天

如果以运动的观点来看待这个问题的,我认为东陆论坛的YSU网友的话很有道理:>>>过原点的射线在顺时针旋转到与X轴重合的过程中，将与直线L在1象限内的所有点一一相交。那么：如果直线L无限长(有无穷多个点)，射线与直线L将永远有交点，因为在无穷多个点的情形下，是不可能有相交完所有点的那一时刻到来，每当认为射线与直线L相交完时，在L上总会有新的没有相交的点被发现，如此才有资格称作无穷。既然永远相交，那么射线与直线L永远不会平行，射线也就永远不可能与X轴重合，但这与事实相矛盾。>>>
  如果从这个观点上来看,这便是一个悖论.
   如果不考虑运动的因素,纯从欧氏几何的平行公理出发,推导出来,若射线与X轴重合,则射线必一一走完了直线L上的所有点,若直线L是无限延长的,便不能"走完",既然"走完"了,那就说明直线L的长度是有限的.此为有限与无限之间的矛盾.
   因此,无论从哪个角度来看待这个问题,都将是一个难以解决的矛盾.

一线天

本文又有新的补充.欢迎大家来看我的新帖:<<超光速假设:一分钟飞越宇宙的蚂蚁>>

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2007/10/16 07:03pm 第 1 次编辑]

1.古语有云:一尺之捶,日取其半,万世不竭!在此,将一尺之捶比方成一个角度,无限次的取走角度之半后,仍然剩下一个角度,也是万世不竭!
2.直线与射线无限长,角度取与剩的万世不竭,含有:
    1).角度可无穷小,楼主所说的交点可在无穷远;
    2).直线与射线的交点在直线上的x坐标定位与角度成一一映射对应,且表现为无穷小与无穷大的对应,无穷小的高阶次与无穷大的高阶次的对应;
3.因为无穷小与无穷大的对应,可知交点经过L上所有的点.
4.假定射线旋转的角速度为时刻t函数,如果在思维中将射线旋转的时间进行------万世不竭的------折分,时间的折分也是无尽的!对于每个时刻,则有交点,角度,时间的一一对应,无限个一一对应.
5.在那无限长的射线,直线的无穷远处,在那无穷小的------无法表达的无限高阶次无穷小的------极值为0的------时间,射线扫过直线上无限个所有的点以及在无限处直线与x轴的中间部分.
6.一分钟飞过宇宙,不足以形容;只有无穷与无限可勉勉强强!因为按现时大爆炸理论,宇宙约在距今150亿年爆炸,按光速来衡量,宇宙的直径是可计和有限的!
7.鄙以为:没有危机!
8.欢迎评点!

不是客人

假设直线Ｌ上不存在最后一个点，则射线无论如何旋转，都始终与直线Ｌ有交点，则此射线永远也不能与直线Ｌ平行

一线天

然也! 我的论文又经过了修改,见<<直线相对论:论有限与无限的相对性>>,在新修改的论文中,确立了在直线上的有界无限的思想,这样可以更好的与真实的客观世界相联系

wangyangkee

http://www.tianya.cn/publicforum/content/free/1/1020907.shtml