炮打康托,炮轰西方谬论数学大本营

一线天

19世纪末20世纪初,德国伟大的数学家康托创建了集合论,不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论被誉为是"构建现代数学大厦的基石",几乎所有的数学全都可以建立在集合论的基础之上.这一发现令数学家们所陶醉.
然尔集合论被数学界所广泛承认的道路却并不是一帆风顺的,19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责,
集合论最激烈的反对者是康托曾经的老师克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数才最可靠,他对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的反对,另一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病",就连成功解决第二次数学危机的著名数学家柯西也不承认集合论.
之所以集合论会遭受到如此巨大的非议,是因为康托在集合论中论证了一个令人吃惊的结论:部分等于整体.举自然数集合为例:若一自然数集为有限集,在这个集合中有P个自然数元素,则在这个集合中偶数的数目为P/2个,可知在有限的自然数集合中偶数的数目少于自然数的数目,但是康托在论述到无限集合的时候,却得出来了在无限集合之中全体偶数的数目与全体自然数的数目一样多,只要让所有的自然数与所有的偶数建立起一一对应就可以了:1对应2,2对应4,3对应6,4对应8.........由于自然数的数目是无穷多的,所以偶数的数目也是无穷多的,这样所有的自然数都能找到唯一的一个偶数与之相对应,所以自然数与偶数一样多.
这从根本上违反了人们的直觉,让人不可思议,但100年来的集合论的发展,却又表明了康托的这种证明方法是准确无误的.
然尔100年后,中国的民间天才数学爱好者李冕先生成功的在自然数集与偶数集等势的这个论述中推导出来了罗素悖论(罗素悖论引发了第三次数学危机),从尔证明康托的集合论就是一个彻头彻尾的谬论.
下面就是李冕先生从自然数集与偶数集的一一对应之中所推导出来的罗素悖论的过程:
设两个自然数集合：
第一个集合为：Ｎ＝｛1,2,3,4,5,.......n......}
第二个集合为：M=A1∪A2∪A3.........∪An......
　　　　A1=｛１，２｝
　　　　 A2＝｛３，４}
　　　　A3={５，６｝　　　
　A4={７，８｝
　　　．．．．．．．．
　
在上面的两个集合之中，第一个集合Ｎ为自然数的全体集合，在这个集合之中，包含有全部所有的自然数．
　　第二个集合称为是自然数的分段集合，在这个集合之中，每２个自然数分为一段，每一段的最后一个数均为偶数，Ａ１，Ａ２，Ａ３，．．．．．其实就是自然数集合N中的真子集．而集合Ｍ就是自然数集所有分段真子集的一个并集．
　从这里可以看出来，Ｎ中包含有所有的自然数，而Ｍ中也包含有所有的自然数，Ｍ中的任何一个元素也全都是Ｎ中的元素，所以Ｍ＝Ｎ，Ｍ与Ｎ实际上就是同一个集合，或者可以说Ｍ是Ｎ的自身．可以这样表示为:M=A1∪A2∪A3.........∪An......=｛1,2,3,4,5,.......n......}=N.　
　　在集合Ｍ与集合Ｎ之间做一个一一对应，即自然数与偶数之间的一一对应：１对应Ａ１中的偶数２，２对应Ａ２中的偶数４，３对应Ａ３中的偶数６，４对应Ａ４中的偶数８．．．．．．n 对应An中的偶数2n.........　　
　　然后：采用＂自然数区间套进＂的方法来进行分析：　
　　将Ａ１与Ａ２相并：A1∪A2＝｛１，２，３，４，｝，在这个集合之中包含有A1和A2的原象1和2,所以原象集合｛１，２｝是集合A1∪A2中的一个真子集．
　　将Ａ１，Ａ２，Ａ３相并：A1∪A2∪A3＝｛１，２，３，４，５，６｝，在这个集合之中包含有A1,A2和A3的原象1,2,3,所以原象集合｛１，２，３｝是A1∪A2∪A3中的一个真子集．
　　依此类推：原象集合｛１，２，３，４｝是并集合A1∪A2∪A3∪A４中的一个真子集．．．．．原象集合｛１，２，３，．．．．n｝是并集合A1∪A2∪A3.........∪An中的一个真子集．．．．．．
　　采用这种＂自然数区间套进＂的方法，当Ｎ中包含有所有原象的时候，Ｎ=｛１，２，３，.....n.......},而Ｍ也包含了Ｎ中的所有原象的象，Ｍ＝A1∪A2∪A3.........∪An......，
　　最后得出：原象集合Ｎ是集合Ｍ的一个真子集．
　　也就是说：自然数集是自然数集的一个真子集．
　　由此便会产生一个矛盾：根据真子集的定义：如果集合Ｎ中的任何一个元素全都是集合Ｍ的元素，并且在集合Ｍ中至少有一个元素不属于集合Ｎ，那么集合Ｎ就叫做集合Ｍ的真子集．
　由于集合Ｎ是集合Ｍ的真子集，所以在集合Ｍ之中，有不属于集合Ｎ的自然数，设这个不属于Ｎ的自然数为Ｘ，问Ｘ属不属于Ｎ？
　　根据真子集的定义，Ｘ不属于Ｎ，但根据自然数集的定义：自然数集是包含有所有自然数的集合，Ｎ是全体自然数的集合，而Ｘ是一个自然数，所以Ｘ属于Ｎ.
这个悖论可以归类于理发师悖论之列，即引发第三次数学危机的罗素悖论．
从以上的论述来看，康托用一一对应的方法来论述自然数集与偶数集等势中包含有悖论，而且是引发第三次数学危机的罗素悖论,所以康托的集合论就是彻头彻尾的谬论,用这种谬论来构建数学大厦的基础,是终究要倒塌的.

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2007/09/27 06:36pm 第 1 次编辑]


    一线天大侠：你还不去加入《第四次数学危机》专栏？！
    你的文章已经被推荐到那里去了！！
     http://www.jinqianzx.com/zhu/forum_posts.asp?TID=1280&N=1&TPN=1
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qingcha

有个问题，可数多个真子集的并集一定是原集合的真子集吗？个人不这么认为

一线天

下面引用由波浪在 2007/09/27 06:35pm 发表的内容： 一线天大侠：你还不去加入《第四次数学危机》专栏？！ 你的文章已经被推荐到那里去了！！ http://www.jinqianzx.com/zhu/forum_posts.asp?TID=1280&PN=1&TPN=1

多谢李明波大侠抬爱,能将我写的帖子推荐到您的第四次数学危机专栏里. 我的这篇帖子主要是重演第三次数学危机,要说第四次数学危机,我的另一篇帖子更适合于发表在那里:那就是我的新帖子<<经典欧氏几何内部的的矛盾:平行线的困惑:直线有极限吗>>.有机会我帖在那里. 我祝您在数学领域里纵横驰骋,将西方谬论数学杀他个落花流水.

一线天

下面引用由qingcha在 2007/09/27 10:51pm 发表的内容：
有个问题，可数多个真子集的并集一定是原集合的真子集吗？个人不这么认为

   不是这样的,这是一个悖论,是从康托的偶数集与自然数集等势之中推导出来的.
  所以说明康托证明偶数集与自然数集等势的方法是错误的,是个谬论.

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2007/09/29 10:31am 第 1 次编辑]

　　康托的无限集可与其无限真子集的元素个数相等，这是一个立论基础，立论本身无可厚非。说其会产生悖论也有点勉强。
　　正如欧氏几何平行线的定义：同一平面内不相交的两条直线；
　　　　射影几何平行线的定义：相交于无穷远点的两条直线。
这只是不同的观点，或者说是不同的立论基础，不存在哪一个正确，哪一个错误的问题。
　　判定一个理论系统的正确与错误，主要是看它推论过程中是否有逻辑错误，是否有自相矛盾的地方；即理论系统中对给出的命题或定理的证明是否可靠，即其命题或定理的结论是否为真，是否给出了可靠的证明，特别是基本命题或定理的结论是否为真，是决定这一理论系统正确与错误的最基本依据。
　　康托的理论最大的错误是，没有把无限集间的一一映射给出严格的统一的清晰的标准，因此两个无限集是否存在一一映射，是依他的主观意愿而定，他说是就是，他说不是就不是。
　　康托理论中对他的两个基本定理：
　　“一、集合A势小于其幂集P(A)的势；
　　　二、区间[0,1]上的小数全体不可数。”
的证明应该都是错误的。
　　如果规范了无限集间一一映射的标准后，这两个定理的结论都是假的，即是两个假命题。
　　推翻了这两个定理后，可以得到，几乎所有的无限集都是可数集，用康托的观点说，几乎任意两个无限集“势”皆相等。从而这个“势”的定义也没有存在的必要了。
　　两个无限集元素的个数是否相等，只有其元素的个数能够确定的情况下才能作出判断。有关自然数的一个公理说，“自然数集N中不存在最大的自然数”，这就是说其元素的个数无法确定，N的元素个数不能确定，谈其元素个数与另一个无限集A的元素个数是否相等，岂不是无稽之谈！

一线天

多谢赵录老师的指点.

一线天

赵禄老师的观点应该是潜无穷的观点吧?因为潜无穷论者认为无穷之间不能做比较,既然任意两个无穷集合皆等势,也就不需要集合论了.

tnjian

楼上的一群人，数学基础没有学好吧，不管是潜无穷还是实无穷，在公理集合论里面按定义推导，你这个问题绝对不是悖论。
一句话，数学归纳法没有用对！！
数学归纳法如下，从
（1）P（1）成立
（2）若P(k)成立则P(k+1)成立
能推出对一切自然数n,有P（n)成立。
所以，在原文中根本不能推出“原象集合Ｎ是集合Ｍ的一个真子集”
而只能推出“对一切自然数n,｛１，２，３，．． ．．n｝是并集合A1∪A2∪A3.........∪An中的一个真子集"
请分清楚自然数集N的性质，与任意自然数n性质。
这个所谓的悖论，只是你的胡诌而已！

一线天

下面引用由tnjian在 2007/10/09 02:00am 发表的内容：
楼上的一群人，数学基础没有学好吧，不管是潜无穷还是实无穷，在公理集合论里面按定义推导，你这个问题绝对不是悖论。
一句话，数学归纳法没有用对！！
数学归纳法如下，从
（1）P（1）成立
...

  朋友大概是这个逻辑吧:
一只青蛙四条腿(蛙腿比蛙多),两只青蛙八条腿(蛙腿比蛙多)..........无穷只蛙无穷条腿(蛙腿和蛙一样多)?
是这个逻辑吗?
如果是这个逻辑,那就是康托教给你们的了?