费尔玛的奇妙证明----大定理之考古

wanghai

[这个贴子最后由wanghai在 2010/09/21 06:47pm 第 12 次编辑]

对于费尔玛大定理，是什么原因使得连费尔玛这样智力超群的大师都已经感到“奇妙”的数学现象，竟能埋藏在他的头脑里直至最后埋藏到坟墓？对于以往的2次求解，费尔玛有自己更为简洁漂亮的公式，并且仅成就该公式的推导过程，就使得费尔玛在1657年向当时的所有数学家挑战Pell方程。今天的我们还在怀疑费尔玛有无“奇妙证明”时，具有讽刺意味的是费尔玛当年已经把“奇妙证明”当作了更深层次大定理方程曲线研究的“垫脚石”。对在本来意义上（其规定为整数）的x=a2-b2  y=2ab  z= a2+b2等前人的并不能囊括所有互质组解的诸公式，费尔玛的“奇妙证明”仅在过程里就派生出bc=1/2的2次求解公式显得何等漂亮、简洁。并且它具有囊括所有互质整数组解以及所有正实数组解的解析性质，是其他公式所不能替代的。发现费尔玛的“奇妙证明”另外的重大意义还在于，搁置了近400年的大定理方程构成的三维曲面，我们的数学能在费尔玛当年“精神游戏”的基础上继续研究下去。
全文请看  http://preprint.nstl.gov.cn/newprint/Upload//2007/1196644270100.doc

    原有基础是坚实的。更为“奇妙”的是现在的证明。但是，这种证明仍然掩盖不了b=1的简洁、优美。将费尔玛再度载入数学史册的用下面的证明无疑是美丽和“奇妙”的，却仍比b=1的证明逊色----理解这一点的人才真正理解了大定理“奇妙证明”的数学内具有的哲学逻辑。
    连费尔玛都认为的奇妙数学证明过程，应当是具有非常的美感的。但是它被埋藏了数百年。一个科学问题，不同于某件物质的古文物，它不会随时间漫长而消蚀或消失。时间是发现一切问题答案的最优秀老师，昨天无，今天可能会有。但是，对于发现者，机会仍不同于古文物，因为针对遗失的科学问题答案，不存在侥幸和偶然。对于发现者，首要条件是绝对相信埋藏答案的存在。
    另外，无所畏惧恰应该是发现者首先具有的品质，其次才是在寻求道路上的不屈不挠和认真细心。正是因为这样，他获得了享受奇妙证明的数学美感的优先权。就象达芬奇最先审视蒙莎丽娜的微笑，贝多芬最先聆听《英雄》的高昂。这是一路艰辛的最好报偿。
    并且，对于费尔玛的奇妙证明，其寻找条件要比怀尔斯的证明条件艰难、苛刻许多。在初等方法中怀尔斯也应该属于寻找失败者之一。“奇妙证明”步步出彩，其关键在于把握住了大定理问题的实质，和根据命题要求找到了对于不同于n=2的所有n值和n=2之间的共同相关性。bc=1/2就象一面竖立在三维坐标第一象限的镜子把n≥2的所有曲线在镜面内对应了1＜n≤2的曲线，bcb2c2=1/4和对应曲线重合于n=2又展示了对应曲线n值性质是有理对应有理，无理对应无理的关系。这也是“奇妙证明”最为精彩的地方。这种精彩还显示了“另类重大问题”确实存在。
    上演了近400年的“波洛侦探案件”进行了最后一幕：波洛终于翻开了古墓里的石碑，细读了碑后的铭文，将全部案情推理演绎的入丝入扣。背景幕布上显现了费尔玛微笑着的大幅图象，前台的帷幕徐徐而落…
    全文细读：

oyazhua

李晋阳先生
  曾阅读过你的多篇文章，很多地方值得我们学习。
   你是否考虑过勾股定理新结构表达形式
（a+b^2）^2+（a+c^2）^2=（a+b^2+c^2+）^2  a=2bc 舍
（a+b^2）^2+（a+2c^2）^2=（a+b^2+2c^2+）^2  a=2bc
他适合高次方质数
可令：x=a+B  y=a+C  可得  z=a+B+C   有正整数方程为：
（a+B)^n+(a+C)^n=(a+B+C)^n，你如何而得到该通式？
曾经蒲福祥老师也得到了该通式，可惜通式结论正确而过程有误而遗憾，你直接过出未免太突然。以通式为基础的证明推导出的结论是显而易见的。
                     

wanghai

你的：
  “可令：x=a+B  y=a+C  可得  z=a+B+C   有正整数方程为：,
（a+B)^n+(a+C)^n=(a+B+C)^n，你如何而得到该通式？
曾经蒲福祥老师也得到了该通式，可惜通式结论正确而过程有误而遗憾，你直接过出未免太突然。”
难道以下证明过程不清楚？

解：n≥2 时，必有  x+y＞z   其中 x＜z   y＜z  令 x+y=z+a
∵x＜z  y＜z且均为正实数 ∴ z＞a   x＞a  y＞a（a是n≥2时对于n=1时的增量）。
设：原方程有正整数解 故 x , y , z , a均为正整数 。因其中a最小，（且a恒偶）
可令：x=a+B  y=a+C  可得  z=a+B+C   有正整数方程为： （a+B）n+(a+C)n=(a+B+C)n
第一，n≥2 时，必有  x+y＞z   其中 x＜z   y＜z 不知道还需要解释否？这一步无错则x+y＞z 大多少呢？令其差为a可以吗？
第二，a最小是无疑问的。这时因为若x或y最小者比a大，则有：a=x+B x=a-B 代入 x+y=z+a中，就有a-B+y=z+a  y=z+B y比z大了，这是不可能的。这种性质是正实数范围都具有的，当然正整数依然具有。由此若存在整数组解，则下面可令：x=a+B  y=a+C  可得  z=a+B+C   有正整数方程为： （a+B）n+(a+C)n=(a+B+C)n是顺理成章且毫无瑕疵。
至于“曾经蒲福祥老师也得到了该通式，。。。”我没见过别人怎样表述。而我则是1992年（涉猎大定理3年后）独立得到的。发现它和刁番都求解结果重合则是在1997年。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 wanghai 在 时添加 -=-=-=-=-
"这时因为若x或y最小者比a大"笔误了。应该是---这时因为若x或y最小者比a小

wanghai

对于大定理变换刁番都增量方程，由于增量a具有 1、恒偶 2、n为质数时必含n因子 。所以可以有4种表达方式。
第一种既是（a+B）n+(a+C)n=(a+B+C)n。
第二种：由于a恒偶，在n≥2时 可写成a=2a1。a最小，故a1必然仍最小。可令x=a1+B y=a1+C可得 z=B+C代入得到 (a1+B)n+(a1+C)n=(B+C)n。仍令b=B/a1 c=C/a1  此方程在n=2时 (1+b)2+(1+c)2=(b+c)2 的新2次求解公式为b=(c+1)/(c-1)它也可以得到无数互质整数组解。
第三种：在n为质数时，a必含n因子，故可写成a=na1.a1仍最小。可令x=a1+B y=a1+C可得 z=B+C+(2-n)a1代入得到 (a1+B)n+(a1+C)n=[B+C+(2-n)a1]n。该方程在n=2时等同于第二种，且仅n=2时和第二种重合。费尔玛小定理来源其中，有兴趣的朋友可以试试。
第四种：在n大于2且为质数时，因为增量a的两个性质（恒偶、必含n因子）故可写成a=2na1.a1仍最小。可令x=a1+B y=a1+C可得 z=B+C+2(1-n)a1代入得到 (a1+B)n+(a1+C)n=[B+C+2(1-n)a1]n。该方程显然排斥n=2。
用增量概念去解Pell方程，可以得到Pell方程的通解。这就是费尔玛在1657年向当时的所有数学家挑战的原因。

wanghai

大定理派生的“另类”重大问题是非常值得人们研究的。

oyazhua

李晋阳先生
    曾学习过你的佳作，你从勾股定理入题并得到（a+B)^n+(a+C)^n=(a+B+C)^n形式应予肯定。但你的证明并不完整，存在漏洞，以下侃点仅供参考；
    在贵文中，鄙人认为“对于认为上述采用无穷下推法的证明仅是证明了b=1一个特例而还不能理解其精髓的，请细读以下辅助证明：”不仅b=1是一个特例，而且b=任何正整数也是一个特例。尽管b=1的精髓包含了b=任何正整数，但并不能掩盖b为正整数的特殊性，b还可为分数。再回到勾股定理部分，鄙文给出以下的勾股定理新表达形式不会陌生吧（a+b^2）^2+（a+2c^2）^2=（a+b^2+2c^2）^2  a=2bc ，事实上也符合你的内容与形式，贵文两边整除a=2bc 后，当且仅当b=1时才有贵文的形式，空缺了其他形式，例如15^2+8^2=17^2，根据贵文形式为（6+9）^2+（6+2）^2=（6+9+2）^2 ，两边整除6后，b与c同时为分数。所以鄙人认为由此推到出的结论并不完整。
    晋阳先生，如果你有兴趣看看鄙文吧 数学爱好者可看一看
    因为有缘相聚在费尔马大定理证途中，我们要相互关心，彼此尊重，和谐相处，
    因为不幸遭遇在费尔马大定理泥潭里，我们更要相互帮助，彼此评点，和谐共生
      

wanghai

oyazhua 先生：你的“不仅b=1是一个特例，而且b=任何正整数也是一个特例。尽管b=1的精髓包含了b=任何正整数，但并不能掩盖b为正整数的特殊性，b还可为分数。”
首先，你已经看到“尽管b=1的精髓包含了b=任何正整数”，那么，它的“包含”同时展示了大定理方程具有的重要的数学性质：一个单位值所具有方程对应的性质是所有该单位其它自然数倍数值共同具有的。b为任何自然数对应的大定理方程性质囊括在b=1的证明里。也就是b=1/1时方程对应具有的性质是b=r/1共有的。
于是，我们原文有：
三、对b或c为其它有理数时的证明：（n为奇数）
这是费尔玛的证明“最奇妙”之处了。它的思想在费尔玛年代是不容易被理解的，因为当时除了费尔玛本人（或者还有少数其他数学家，但笛卡儿则肯定不在其中）人们还没有接受空间解析几何的概念。当然，今天则不同，任何一个大一学生也可以弄懂它。“奇妙”还在于它的过程和结果更使得人们在充分意义上去解读（证明一），因而更能体会到无穷下推法的优美、简洁。
首先，由n≥2时的通解②   bc=m/k 我们以b,c,m/k为轴建立三维坐标。n=2形成的曲线在m/k=1/2的平面上，而n＞2的其余曲线则在该平面到m/k=0平面内。并且只有n=2的曲线平行于m/k=0平面，其它曲线均是扭曲的。但是这种扭曲有共同的规律---所有同b或同c值点都在由n=2同值点出发，平行b 轴到 c 轴或平行c 轴到b 轴的斜线上。由于bc=m/k是n≥2时所有费尔玛曲线的通解，所以所有点水平和垂直方向形成的直角三角形又都具有tga=b或tga=c的性质。该性质又是所有曲线该同值点共有的。也就是费尔玛方程任一曲线上的所有点都有和n=2同b或同c值的点与轴间形成的直角三角形相似的性质。
由证明二，确定了b=r 且r为任何自然数时，n＞2为整数的所有费尔玛曲线上的点c值是无理的。此时c值点到b轴所构成的直角三角形和n=2的c值点到b轴所构成的直角三角形是相似的。该类直角三角形的tga=b对应着n＞2且为整数时所有费尔玛曲线无理的c值点，该类直角三角形放大或缩小有理数倍的c值仍然是无理的。（图略）
由证明二同时展示的大定理方程具有的重要的数学性质：一个单位值所具有方程对应的性质是所有该单位其它自然数倍数值共同具有的。b为任何自然数对应的大定理方程性质囊括在b=1的证明里。也就是b=1/1时方程对应具有的性质是b=r/1共有的。同理，b=1/k时方程对应具有的性质也是b=r/k共有的--------即b=r/k囊括在b=1/k的证明里。我们只需要证明了b=1/k（k=2,3,4,。。。。。）即证明了所有的除自然数外的所有有理数。
对于c=1/2,有b=2的直角三角形相似对应；c=1/3，有b=3的直角三角形相似对应。。。。。而b,c在(1+b)n+(1+c)n=(1+b+c)n   ①中是可以互换的，故b=r的证明递次对应包含了对b=1/k的证明；而b=r/k的证明又囊括在b=1/k的证明里；最后b为所有有理数的证明都囊括在b=1的证明里。这就是无穷下推法在此类否定命题中体现的精髓，也是费尔玛为什么说自己用该方法“真正奇妙”的证明了大定理的原因。
至此，b,c为其它有理数时费尔玛大定理获证。
我想不出来有理数除了以上证明外的“其他另类”。

oyazhua

  晋阳先生你好
     浏览你的整篇文章,似乎应当分两部分,第一部分是对整数部分的证明,第二部分是对其它有理数时的证明,两部分内在联系是什么?似乎是孤立的,这是证明应忌讳的,
    在鄙人看来第一部分是在证明费尔马定理,第二部分述说证明似乎不当.这只是笔者一点看法,对与错,适当或失当,全在你衡量, 拜拜.

wanghai

  oyazhua 网友  
根据你 “在鄙人看来第一部分是在证明费尔马定理”的说法，如果仔细些，就不应该有“第二部分是对其它有理数时的证明,两部分内在联系是什么?似乎是孤立的,这是证明应忌讳的,”的看法了。
你认为“第二部分是对其它有理数时的证明,两部分内在联系是什么?似乎是孤立的,这是证明应忌讳的,”恰是因为你没有仔细思考。
当我们通过大定理变形得到通解②   bc=m/k后，我们就得到了大定理曲线族在三维坐标的准确无误的曲面。n大于2且为整数的曲线族具有的共同性质恰恰把对自然数的证明和对除自然数外的形如1/k的有理数极其巧妙地结合起来。而对自然数的两个证明又展示了大定理方程具有的一个重要性质--- 一个单位值所具有方程对应的性质是所有该单位其它自然数倍数值共同具有的。那么对形如1/k的有理数的证明就是对r/k，也就是所有其他有理数的证明。而对于形如1/k的有理数的证明却又是b为自然数时递次对应的。----b=2对应b=1/2,b=3对应b=1/3。。。。这恰是全部证明最精妙之处了。我用（图略）代替了实际存在的三维图形，也正是为了让人们享受数学的美感，享受无穷下推法b=1既是全部证明的美感。

ziyouren

           
             無窮遞降法 (Method of Infinite Descent)
    無 窮 遞 降 法 (Method of Infinite Descent) 是 一 個 由 費 馬 (Fermat)
發 明 且 令 他 引 以 為 傲 的 一 個 證 明 方 法。這 方 法 一 般 用 來 證
明 某 一 個 關 係 或 某 一 個 性 質 不 成 立。這 方 法 先 假 設 某 一 個
關 係 或 某 一 個 性 質 成 立 且 能 夠 表 成 一 個 含 正 整 數 a 的 算 式，
從 而 再 證 明 亦 有 無 限 多 個 小 於 a 的 正 整 數 亦 能 滿 足 這 算 式，
因 為 不 可 能 有 無 限 多 個 正 整 數 小 於 a，因 而 導 致 矛 盾，從 而
證 得 某 一 個 關 係 或 某 一 個 性 質 不 成 立。
  
    例：证明 √2 是无理数

     那么假设 √2是有理数，可设
        
      √2 = a / b   （a ，b ）= 1
则有2b^2 = a^2，于是 a^2 必含 2^2 因子，则有a =2a1，即
         
        2b^2 =（2a1）^2
         
         b^2 =2a1^2
这时b又必含2因子。无限推下去，a、b都必含2因子，可是根据公里已设定（a ，b ）
= 1，所以a、b都必含2因子是不可以的，因而√2 是无理数。
    可见，楼主根本不懂无穷递降法（自己称无限下推）。分数无限下推是无穷的，
推倒 1 那不是有限了么？
   
   好自为之。