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0引言
1962年在概率论教学中，为了叙述连续性随机变量基本事件的概率，笔者看到：[苏]格涅坚科著《概率论教程》中讲到基本空间U时说“至于这集合的元素究竟是什么东西，这对于概率论的逻辑发展而言是可以不加分辨的”[1]；在复旦大学编《统计数学》中讲到事件体时说：“U中的某些子集（其全体记作F）作为事件，……；至于究竟需要哪些子集，则需视具体情况而定，通常不需要考虑基本空间的所有子集”[2]。这些话说明：现行概率论回避了“连续型随机变量基本事件是什么?与这些基本事件概率是什么？问题”的回答。根据“发现问题、解决问题，就是进步”的思想，笔者对数学理论的来源与应用进行了58年的研究之后, 发现“必须使用唯物辩证法，具体来讲，需要使用：理论与实践、精确与近似、无限与有限、零与非零之间的对立统一关系阐述这个问题”。这个概率论基础问题首先涉及无穷集合的概念，其次也涉及到数学理论中的测度、微积分、几何基础等许多基本定义、公理。由于篇幅限制，本文从最基本的无穷集合问题出发，然后简略地介绍一下实数、点、微积分学中的对立统一概念，最后谈谈这个问题的解决意见。
1 自然数与无穷集合的对立统一概念与有关问题
1.1 自然数的理想性与基本定理
根据唯物辩证法与毛泽东的《实践论》[3] 应当知道：数学理论的本质是研究现实数量大小、多少及其关系的科学；因此需要知道：自然数是表示现实集合元素个数多少的表达符号。由此出发，就有了需要背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但根据《实践论》中“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环的内容，都比较地进到了高一级的程度”[3]的思想，需要对这个初步理论进行修改与补充，为此笔者在文献[4]中提出了如下的自然数的理想性定义及其说明。
定义1（自然数的理想性及其说明）：忽略了现实集合各个元素质与大小差别之下的表达符号叫做理想自然数（ 简称为自然数）。有了这个定义，就有了需要背熟自然数的加法、乘法的运算法则，但在联系实际应用时，还需要知道9个大苹果比十个小苹果养分多”[4]。进一步，使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析。”这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的， 没有矛盾就没有世界。[3]”的论述。
定理1数学理论中的基本定理（自然数的两个重要性质）： ①在不受时间的限制下，任意大确定的自然数都是能够被人们写出的自然数；②全体（或称所有）自然数是人们永远无法写完其所有元素的想象性质的集合。
证：首先证明定理的第一个论断。由于确定的自然数的位数是确定的，设其为N，又其中每一位上的数字不外0，1，2，……，9中的一个. 设写出这些符号的最长时间为θ，则写出这个确定的自然数的时间不大于Nθ,故在不受时间限制的条件下，任意大确定的自然数是能够被人们写出的。对于定理中的第二个论断，使用反证法：假设有时刻 T存在，使在[0，T]时段内，能把全体自然数写完，现在可以证明这个假设不成立。事实上，由于存在着任意多位数的自然数，每一位的数字必是0，1，2，……，9符号中的一个， 设写出这些符号的最短时间为ε，则总有位数为M自然数的存在，使Mε〉T。这说明，存在着在[0,T]时段内，写不出位数为M的自然数。故定理中的第二个论断也成立。[5]
笔者称这个定理是数学理论中的基本定理，从下文可以看出：它不仅涉及到所有无穷集合，还涉及几何基础、实变函数与泛函分析、数学分析、概率论等所有数学理论。初看起来，这个定理的两个部分是矛盾的、是违反形式逻辑法则的，但实际上是相容的、不矛盾的；因为前者是对在“时间无限”条件下讲的，后者是对任何确定的有限时间T讲的。这两个部分是符合唯物辩证法的对立统一的两个部分，它们之间相互依赖相互斗争才构成了活生生地有生命的数学理论。从这个定理的证明来看，不仅人们写不出,所有自然数，而且也存在着(在有限时间内)写不出的充分大自然数。这个定理不仅否定了康托儿的自然数集合是“完成了的实无穷”[6]观点，而且也否定了大于所有自然数的《非标准分析》中的无穷大自然数存在的模型理论（这个模型的提出应用了ZFC公理体系中的有争议选择公理）[7]。笔者的这个定理的证明，应用了反证法，反证法以排中律为基础，所以也用了排中律。排中律是建立ZFC形式语言公理集合论的推理规则[8]，但笔者认为排中律与反证法的应用需要接受实践检验，在文献[4] 及下文中，笔者指出：使用反证法得到“实数集合是不可列集”的证明是错误的。那么反证法究竟能不能使用呢？，笔者认为：数学理论中的一切定理及其证明都必须根据“实践是检验真理的唯一最终标准”进行检验与应用的说明，下文的应用说明：这个定理是符合实践的、有用的、必要的定理。
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发表于 2019-12-19 09:52
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