又一个关于数列的有趣问题

acting

[这个贴子最后由acting在 2008/02/25 00:49pm 第 1 次编辑]

请问 有没有可能存在以下一个数列：
对于任意一个整数n, 都有一个子数列收敛于n
请给出证明或满足这个条件的数列
谢谢

acting

我已解决此问题 谢谢

chinaunix

0,
0,-1,
0,1,
0,-1,-2,
0,1,2,
0,-1,-2,-3,
0,1,2,3
.........

zhaolu48

这是《数学分析》与《实变函数论》的最基本的问题。
比如对任意整数n，那么
n+1/2,n+1/3,n+1/4,…,n+1/m,…
当m→∞时，就有数列{n+1/m}收敛于n。

wangyangkee

九天懂事了，王元也曾马失前蹄，说得少些了，，，.

love-math

这样选：
1；1,2；1,2,3；1,2,3,4；1,2,3,4,5；1,2,3,4,5,6；...，1,2,3，...，n;...
它的特点是，随便一个自然数n，都在这个数列里出现无穷多次，因此，总存在子列收敛于n。

九章传人

下面引用由zhaolu48在 2008/10/02 09:39am 发表的内容：
这是《数学分析》与《实变函数论》的最基本的问题。
比如对任意整数n，那么
n+1/2,n+1/3,n+1/4,…,n+1/m,…
当m→∞时，就有数列{n+1/m}收敛于n。

这个例子只能说明：任给一个整数n，都存在一个数列以n为极限；而不能说明，存在一个数列，使得任何一个整数，都是该数列某个子列的极限。
这是两个完全不同的问题。

九章传人

下面引用由love-math在 2012/04/20 11:44am 发表的内容：
这样选：
1；1,2；1,2,3；1,2,3,4；1,2,3,4,5；1,2,3,4,5,6；...，1,2,3，...，n;...
它的特点是，随便一个自然数n，都在这个数列里出现无穷多次，因此，总存在子列收敛于n。

这个例子已经从本质上回答了楼主提出的问题，这个例子说明：存在一个数列，使得任何一个自然数，都是这个数列的某个子列的极限，这是因为，每个自然数都在这个数列中出现无穷多次。
但是楼主的原问题是要求任何“整数”而不是单单的“自然数”，所以，还需要稍加修改，比如，改为如下数列即可：
0；-1,0，1；-2，-1,0，1,2；-3，-2,-1,0，1,2,3；-4,-3，-2,-1,0，1,2,3,4；-5,-4,-3，-2,-1,0,1,2,3,4,5；-6,-5,-4,-3，-2,-1,01,2,3,4,5,6；...;-n,-(n-1),...,-4,-3，-2,-1,0,1,2,3，...，n;...
它的特点是，随便一个整数n，都在这个数列里出现无穷多次，因此，总存在子列收敛于n。