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n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

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发表于 2008-5-12 12:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
我经过研究,推导出了n元数的矩阵表示法。

n元数的加、减、乘、除运算,与矩阵表示的加、减、乘、除运算,有一一对应的关系。

n元数的模的n次方 ,就是它的矩阵表示的行列式的绝对值。

对这种n元数的矩阵表示,可以作特征分解。利用特征分解式,可以进行n元数的乘方和开方运算。

参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子:

“一种满足交换律和结合律的n元数”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3797




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 楼主| 发表于 2008-5-13 20:40 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

我用 n 元数的矩阵表示式的特征分解,推导出了 n 元数的指数、对数和三角函数的计算公式。

参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子:

“n元数的指数、对数和三角函数”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3810
 楼主| 发表于 2010-4-17 00:19 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

一个网友看了我在《数学中国》发表的有关n元数的帖子后,问我:是否能求n元数的奇异值?
我在下列帖子中作了答复:
“n元数的矩阵表示的奇异值”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9425
 楼主| 发表于 2010-4-24 10:27 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

参看我在《数学中国》论坛发表的帖子:

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9432

“n元数的对数的多值性”
发表于 2010-4-24 14:00 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/04/24 02:02pm 第 1 次编辑]

对于您的四元数有i^4=1,因此i^2是1的一个平方根,又因i^2≠1,因此i^2=-1。
从而i^3=i^2*i=-i。
因此
x=1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0。
所以
x^(1/2)=±(1+i+i^2+i^3)/2=0。
 楼主| 发表于 2010-4-24 17:33 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

下面引用由zhaolu482010/04/24 02:00pm 发表的内容:
对于您的四元数有i^4=1,因此i^2是1的一个平方根,又因i^2≠1,因此i^2=-1。
从而i^3=i^2*i=-i。
因此
x=1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0。
所以
x^(1/2)=±(1+i+i^2+i^3)/2=0。
赵录先生说:“i^2 是 1 的一个平方根,又因 i^2≠1,因此 i^2=-1。”
这种说法,在复数中是成立的,在复数中,1 只有两个平方根,不是 1 就是 -1 。
但在四元数中,这种说法,却是不成立的。在四元数中,x=1 有下列 8 个不同的平方根:
    x^(1/2)=±1 ,±i^2 ,±(1+i-i^2+i^3)/2 ,±(1-i-i^2-i^3)/2 。
你可以验证一下:
(±1)^2=1  ,
(±i^2)^2=i^4=1 ,
[±(1+i-i^2+i^3)/2 ]^2=(1+2i-i^2+3i^4-2i^5+i^6)/4=(1+2i-i^2+3-2i+i^2)/4=1 ,
[±(1-i-i^2-i^3)/2 ]^2=(1-2i-i^2+3i^4+2i^5+i^6)/4=(1-2i-i^2+3+2i+i^2)/4=1 。
在四元数中,i^2 与 -1 是完全不同的两个数,不能把它们等同起来。
只有当我们作一个“投影”,把四维立体空间中的四元数,投影到二维的复数平面中去,
令 i=√-1 ,这时才会有 i^2=-1 。
四元数中 x=1 的 8 个不同的平方根,只有投影到复数中去,才会变成两个平方根:±1 。
发表于 2010-4-26 11:03 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/04/26 11:04am 第 1 次编辑]


i^n=1
  i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)
=>i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))-(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
=>(i-1)(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
因i≠1,因此
1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)=0
从而{a(1)+a(2)i+a(3)i^2+…+a(n)i^(n-1)}至多是n-1元数集。
 楼主| 发表于 2010-4-26 13:53 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

下面引用由zhaolu482010/04/26 11:03am 发表的内容:
i^n=1
  i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)
=>i(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))-(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
=>(i-1)(1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1))=0
因i≠1,因此
1+i+i^2+…+i^(n-2)+i^(n-1)=0
从而{a(1)+a(2)i+a(3)i^2+…+a(n)i^(n-1)}至多是n-1元数集。
在实数和复数中,因为不存在零因子,所以,当 ab=0 时,从 a≠0 可以推出必有 b=0 。
但是,在 n 元数中,存在零因子。存在零因子的意思就是说:有 a≠0 ,b≠0 ,但 ab=0 。
所以在 n 元数中,当 ab=0 时,从 a≠0 不能推出必有 b=0 。
在 n 元数中,1+i+i^2+…+i^(n-1) 恰好就是一个零因子,所以,虽然有
(i-1)[1+i+i^2+…+i^(n-1)]=0 ,而且 i-1≠0 ,但是不能推出 1+i+i^2+…+i^(n-1)=0 。
发表于 2010-4-26 14:50 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

哈密顿的四元数可进行四则运算,惟一的缺憾是乘法不满足交换律。
但不存在零因子。
因此称为四元数体。
四元数的另一个缺憾是,除法要解四元一次方程组。
因为乘法不满足交换律,因此没有乘方运算,从而更没有开方运算了。
做为“数”来说,存在零因子似乎不太合理。当然“数”的概念也许可以这样扩充。
您的四元数,M(x)存在奇异矩阵,或称非满秩阵,或非可逆阵,即对应行列式值等于零。
线性代数中,线性变换都是以非奇异阵为基础的,对奇异阵的线性变换是要做具体分析的。
 楼主| 发表于 2010-4-27 18:52 | 显示全部楼层

n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用

下面引用由luyuanhong2010/04/24 05:33pm 发表的内容:
赵录先生说:“i^2 是 1 的一个平方根,又因 i^2≠1,因此 i^2=-1。”
这种说法,在复数中是成立的,在复数中,1 只有两个平方根,不是 1 就是 -1 。
但在四元数中,这种说法,却是不成立的。在四元数中,x=1  ...


参看我在《数学中国》论坛发表的帖子:

“n元数中数字 1 的平方根”

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9489
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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