ｎ元数的指数、对数和三角函数

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/05/13 11:23pm 第 1 次编辑]

我用ｎ元数的矩阵表示式的特征分解，推导出了ｎ元数的指数、对数和三角函数的计算公式。


参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：
“一种满足交换律和结合律的ｎ元数”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3797
“ｎ元数的矩阵表示及其在ｎ元数乘方、开方运算中的应用”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3808

luyuanhong

一个网友看了我在《数学中国》发表的有关ｎ元数的帖子后，问我：是否能求ｎ元数的奇异值？
我在下列帖子中作了答复：
“ｎ元数的矩阵表示的奇异值”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9425

zhaolu48

这里i^k(k=1,2,…,n-1)中的k是上标，还是幂指数。

luyuanhong

i^k 表示 i 的 k 次方。

数学小不点

大家好，过几天，鄙人会将无穷元数的函数理论介绍给大家，请大家领略一下无穷元数理论的风采！当然，需正规的学术刊物刊出后，吾再发出网络版，以免被学人批评。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
有了无穷元数理论，n元数理论就显得很是简单，他们只是无穷元数理论的特例罢了。

zhaolu48

luyuanhong

赵录先生，你不小心把题目看错了。我在第1楼的帖子中，举了两个例子。在例1中，x＝i+2i^3 ；在例2中, x＝3+i^2 。
我对 x＝3+i^2 求对数，得到 lnx＝ln8/2+(ln2/2)i^2 ，令 i=√-1 ，“翻译”或“投影”成复数后，可以看到结果完全正确！

zhaolu48

眼神不计，看错行了。
不过您的n元数不能与n维欧氏空间存在一种同构或同态对应，则限制了它的可应用性。
从代数意义上讲，i^n=1，则i就是1的一个n次根，也称一个n次单位根。
可您这里的i，即不是实数，也不是复数（二元的），是不是数呢？从老师的论述看，它不是“数”，至少不属于（二元）复数集。
从射影角度看，一个“事物”的射影，只能比原事物的内涵“减少”，而不会使内涵“增大”。因此你的n元数，只能是复数的“射影”，而不是他的“射影”是复数。从这个意义上说，它不能成为复数域的“扩张”。
比如，只能说1,i,i^2,…,i^(n-1)是1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)的射影，而不能说1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)是1,i,i^2,…,i^(n-1)的射影。
1,i,i^2,…,i^(n-1)可以线性生成所有的n元数集，而1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)只能生成复数域的子域。因此您的n元数，不是复数的扩张。
因为你的n元数，能求对数，因此也能开方。
因对任意的x可计算它的对数，比如令lnx=y，则ln(x^(1/k))=(1/k)ln(x)=y/k，从而x^(1/k)=e^(y/k)。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/04/19 09:39pm 第 2 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2010/04/19 11:15am 发表的内容：
眼神不计，看错行了。
不过您的n元数不能与n维欧氏空间存在一种同构或同态对应，则限制了它的可应用性。
从代数意义上讲，i^n=1，则i就是1的一个n次根，也称一个n次单位根。
可您这里的i，即不是实数，也不是复数（二元的），是不是数呢？从老师的论述看，它不是“数”，至少不属于（二元）复数集。
从射影角度看，一个“事物”的射影，只能比原事物的内涵“减少”，而不会使内涵“增大”。因此你的n元数，只能是复数的“射影”，而不是他的“射影”是复数。从这个意义上说，它不能成为复数域的“扩张”。
比如，只能说1,i,i^2,…,i^(n-1)是1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)的射影，而不能说1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)是1,i,i^2,…,i^(n-1)的射影。
1,i,i^2,…,i^(n-1)可以线性生成所有的n元数集，而1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)只能生成复数域的子域。因此您的n元数，不是复数的扩张。

赵录先生说：“只能说1,i,i^2,…,i^(n-1)是1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)的射影，而不能说
1,ε,ε^2,…,ε^(n-1)是1,i,i^2,…,i^(n-1)的射影。”，这种说法是不对的。
就拿 n＝4 时的四元数来说，在四元数中，1、i、i^2、i^3 是 4 个不同的单位元。
在四元数域中，任何一个四元数，可以表示为 x＝a+bi+ci^2+di^3 的形式。
从几何上看，x＝a+bi+ci^2+di^3 可以看作是空间的一个点，（a,b,c,d）是这个点的坐标。
显然，四元数域对应的空间，是一个四维的立体空间，与二维的复数平面是完全不同的。
同时，我们又可以做一个投影，把这个四维的四元数立体空间，投影到二维的复数平面。
投影的方法，是令四元数中的单位元 1＝1 , i＝√-1 ，i^2＝-1 ,i^3＝-√-1 。
我们可以看到，这样的投影，是把复杂的东西简单化了，把立体的东西平面化了：
例如，在四元数中，-1 与 i^2 是两个不同的数，投影到复数平面上，变成了同一个数 -1 。
又例如，在四元数中，i 与 -i^3 是两个不同的数，投影到复数平面上，变成了同一个数 √-1 。
如果我们反过来，要把二维的复数平面，投影到四维的四元数立体空间中，就会发生问题：
复数中的 -1 ,是投影成四元数中的 -1 呢？还是投影成四元数中的 i^2 ?
复数中的 √-1 ,是投影成四元数中的 i 呢？还是投影成四元数中的 -i^3 ?
可见，我们只能把ｎ元数中的　1,i,i^2,…,i^(n-1)　，投影成复数　1,ε,ε^2,…,ε^(n-1），
不可能把复数中的　1,ε,ε^2,…,ε^(n-1）投影成ｎ元数中的　1,i,i^2,…,i^(n-1)　。
由此也可以看出，ｎ元数比起复数来，ｎ元数要更复杂得多，更高级得多，内容更丰富得多。
我们将数域从复数域推广到ｎ元数域，是一种扩张，是一种“增加”，而不是“减少”。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/04/20 08:31am 第 1 次编辑]

陆老师是靠说理的办法说服人，这点令人尊敬。