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:em14: 余数排列中的素数规律
将求素数的‘筛法’铺展开（不研究偶数及素数2），用所有的奇数分别除以小于它们的所有奇数而产生的小于除数的余数，按对应位置顺序排列起来构成（图一）：
Y
yi 2 4 6 8 10 12 14 ....... ai
........................................
13 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 ...... a13
11 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 0 2 ...... a11
9 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 ...... a9
7 2 4 6 1 3 5 0 2 4 6 1 3 5 0 ...... a7
5 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 ...... a5
3 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 ...... a3
_ X
5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 ........xi
图(-) (余数坐标系)
其中X轴表示所有的被除奇数（1，3除外），Y轴表示所有除数（1除外），两轴上的数对应在平面上的点是它们作除法后所剩小于除数的余数（称为真余数）。
由于X轴上的数是用连续奇数构成的等差数列，故Y轴上的任意数yi依次对X轴上分别大于yi的数作除法后产生的小于yi的余数是严格按照2，4，6，…，y-1, 1, 3, 5, … , y-2, 0,的循环规律延X轴方向无限循环下去的，而这些所有小于等于yi的除数对应的循环余数在X轴上y!！（奇数阶乘）个数位上相对形成‘有顺序规则’的全排列，这是筛法的结果，客观的存在。
所谓“有顺序规则”是指在（图一）Y轴右边空白的地方包含了一些隐形的虚构的余数（用斜体数字表示）：
yi . . . . . . 0 2 4 6 8 10 12 14 ....... ai
. . . . ........................................
13 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 ...... a13
11 5 7 9 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 0 2 ...... a11
9 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 0 2 4 6 8 ...... a9
7 5 0 2 4 6 1 3 5 0 2 4 6 1 3 5 0 ...... a7
5 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 ...... a5
3 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 ...... a3
X
5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 .......xi
（图二）
这些隐形的余数（或称假余数）只说明为了构成这种“有顺序规则”的全排列而暂时虚构的余数，其中的“0”并不说明对应在X轴上的数是合数，
为叙述直观方便，设：
Y轴上任意yi对应的所有余数中，连续yi个余数称为一个“循环余数组”，相邻的两个余数称为‘相邻余数对’，X轴上任意xi对应的所有余数称为xi的‘余数列’， 相邻的两个余数列称为‘双余数列’。（y）！！表示连续奇数连乘：
（y-0）（y-2）（y-4）…..（5）（3）;
（y-r）!! 表示连续奇数分别减去它们所对应的条件值r后再连乘。
如此设定后，对于任意xi而言，它对应的余数列中若含有余数“0”，说明xi被“0”余数所对应的yi整除，是合数；如果它对应的余数列中没有余数“0”，说明xi不被任何整数整除，其为素数；如果相邻的两个余数列中都没有余数“0”，说明这个双余数列对应在X轴上的两个奇数是“孪生素数”;还有符合素数加法对称点（1+1）的数、减法对称点（1-1）的数，素数与合数对称点（1+n）的数，合数与合数对称点（n+m）的数等等都可以在余数排列中找到它们的足迹。总之，我们是要在X轴上找到符合“一定条件值（r）”要求的素数的存在规律和个数的多少。
思路和方法：
1， 首先假设任意给定一个偶数M（以下所讨论M都大于6）,可以找到小于M平方根的不包括1的所有奇数y, （y-2）,（y-4）,……,5, 3,（称为M的筛子数），这些筛子数所对应的真假余数在X轴上y!!（即筛子数的连乘）个数位上相对形成全排列。比如y=5时的全排列图形：
（0） 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3
2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0
2，在这些全排列中找出符合一定“条件”的余数列的个数。假如这个“条件”是 余数列中不能有“0”的出现，那么在每组循环余数中减去一个余数“0”后，将每组不同循环中非“0”余数的个数连乘起来，便是符合这一条件的非“0”余数列的总个数：
p = [（y-0）-1]*[（y-2）-1]*……*（5-1）*（3-1）= (y-1)!!
例如在上面y=5的例子中，于X轴y!!=5×3=15个数位上存在
p=（5-1）*（3-1）= 8 个非“0”的余数列：
2 1 3 2 4 3 4 1
1 2 1 2 1 2 2 1
对于一般的情况，假如给定的条件是各不同循环余数组中不能有r个余数（包括0）出现的话，那么在全排列中符合条件的余数列总个数p就应该是：
p =（y-r）!!
3,全排列中每个余数组是无限循环的分布，所以存在一个平均数，即将p除以y!! 便是全排列中每个数位上存在的符合给定条件的余数列平均数：
g = p / y!! =（y-r）!! / y !!
这些符合条件的余数列对应在X轴上的奇数并不一定是素数。 根据筛法原理可知，依M的“筛子数”只能筛掉M内的所有合数，大于M的合数是不会都筛掉的，所以在M—0的区间里符合条件的余数列所对应在X轴上的数才是素数，并且总个数是：
M （y-r）!!
P = ——* ———— （M/2 表示M 内奇数的个数）………..（1）
2 y!!
这个算式是在全排列中“余数分布均匀”的前提下得出的，但实际上余数分布并不均匀，如果把y！！个数位按y个数位为一区间划分，那么第一个含有假余数的区间所有余数列都含有余数0，不过第一个区间的每行循环余数组中的第一个余数0是假的，那就注定了这个平均数要小于实际存在的各种素数的数量，这个平均值的下限也有充分的理由作为实际素数的存在的下限值，然而当r的值域只含有1和2两个自然数时，（1）式的最小值或称下限值是y/2，也即符合条件r的素数的个数不低于y/2。
另外，容易证明，在自然数列里连续合数的区间（a——b）是越来越大的，直至无穷，虽然a与b所含素数个数相等，但所对应的P值却不同，所以P值与实际符合条件的素数的个数之间是有误差的，这个误差也随着M值的增大而越来越大，但（1）式表明，如果r的值域只有[1，2]的话,p的上限是M/2,下限是y/2,这个误差不影响当M趋于无穷大时，P也平稳地趋于无穷大，所以，符合这种条件的素数有无穷多个。
下面分别按不同余数条件的要求求出素数，孪生素数，素数加减法对称点的各种P值:
A: 任意给定自然数M,求M—1的区间里有多少个素数。
这个条件简单，即所有余数列中不能出现余数“0”就行，因为所有的余数循环中每个循环数组只含一个余数“0”，那么（1）式中所有的r都取1即可，带入（1）式有：
M （y-1）!!
P1 = ——*———— （2）
2 （y）!!
即是任意给定自然数M——1区间中素数的存在平均数。
例如求M= 50以内 的素数平均数，
M=50的筛子数是：7， 5， 3。带入（2）式：
50 （7-1）*（5-1）*（3-1）
P1 = ——*——————————— = 11.4
2 7 * 5 * 3
而实际素数的个数是： 3，5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47，总共14个（7/2 <14<50/2），误差是2.6 。
下表是一些不同的M数对应的素数存在平均数与实际素数存在数的对比：
任意给定M24 4880120168224 288 528840
y 值3 5791113 15 2127
P1 平均数8 12.818.324.33138.1 45.871.3100.3
素数的个数8 1421293847 6097146
误 差 %0 8.512.816.218.418.9 23.826.431.5
其中P1和实际素数的个数都存在于他们各自的区间（y/2，M/2）之中。
P1说明素数无穷多。
B, 任意给定自然数M,求M—1的区间里有多少对“孪生素数”？
首先应该知道产生“孪生素数”的充分必要条件是相邻的两个奇数所对应的余数列中都不能出现余数“0”，那么这个条件反映在各组循环余数中的要求就是：相邻的两个余数都不含“0”，只有这种‘非0的余数对’才能组成非“0”的“双余数列”。
到底每个余数循环中包含多少个非零余数对？很简单：
在y3的余数循环...0,2,1,0,2,1,0,...中,3个数顺序组成02,21,10,三种‘相邻余数对’,而其中只有(3-2)个非0的‘相邻余数对’(21)符合素数对的余数条件(即相邻两个余数中不能有“0”的出现).
在y5的余数循环...0,2,4,1,3,0,2,4,...中,5个数顺序组成02,24,41,13,30,五种‘相邻余数对’,而其中只有(5-2)个非0的‘相邻余数对’(24,41,13)符合素数对的余数条件.
显然,在yi的余，0，2,4,6,...,(y-1),1,3,5,...(y-2),0，....中,yi个数顺序组成yi种‘相邻余数对’,而其中只有.(yi-2)个非“0”的‘相邻余数对’符合素数对的余数条件.
那么,依照循环余数的排列规律,在 y!!= y*(y-2)*(y-4)*......*5*3 个数位上,出现这些符合“素数对”条件的非“0”的“相邻余数对”所组成的‘双余数列';的总个数是:
[y-2]*[(y-2)-2]*[(y-4)-2]*......*[5-2]*[3-2]
也即指（1） 式中 （y-r）!! 所含r的值全部是2 ，[意思是每组循环余数中去掉两个组合：（0a）和（b0）,（a,b都是非零余数）]，将（y-2）!! 代入（1）式,即有M——1的区间里“孪生素数”对的存在平均数：
M （y-2）!! M
P2 = ——*———— = ——— （3）
2 （y）!! 2y
例如M=120的孪生素数平均个数是:
120
P2= ——— = 6.6 （ y=9 ）
2*9
P2是“孪生”数（指两个相连素数为一“孪生”），故它涉及到2*P2个素数，
实际上有“孪生素数”8对（16个）: (11,13), (17,19), (29,31), (41,43),
(59,61), (71,73), (101,103), (107,109),
两者虽有误差 ， 但都大于9/2，或称存在于在（9/2，120/2）区间中。
P=y/2 说明当自然数M趋于无穷大时,M中‘素数对’之平均个数也是平稳地趋于无穷大，换言之，在自然数列中“孪生素数”有无穷多个。
C; 任意给定偶数M求M—0的区间里有多少个素数加法对称点，即表达式M=p1+p2（或M=p2+p1）中所含素数的个数。
.首先明确素数条件，将表达式M=p1+p2 变为 :
M-p1=p2 （4）
显然（4）式成立的条件是p1的余数列中不能有余数“0”，对同一个除数而言也不能与M有相同的余数，才能保证其结果p2为素数。这就是p1的素数条件。由于p1、p2关于加法对称，可以互换位置，则（4）式说明P3同时包含p1、 p2的存在数。那么在（1）式中 r的取值的根据就是M的余数，M的余数是“0”，r取1；M的余数是非“0”的余数，则r取2。
例如求M=906的素数加法对称点的平均数:
首先确定‘筛子数’: 29, 27,25,23, 21,19,17,15,13,11, 9, 7, 5, 3,
906对应在这些‘筛子数’上的余数是 7，15，6，9，3 , 13，5，6，9，4，6，3，1，0，
由此得出r的值分别是： 2， 2，2，2， 2， 2，2，2，2，2，2，2，2 1，
代入（1）式：
P3 =M（y-r）!! / 2（y）!!
906 (29-2)(27-2)(25-2)(23-2)...(5-2)(3-1)
= --- * -————————————————————
2 29*27*25*23*21*19*17*15*13*11*9*7*5*3
906 *27*25*23*21*19*17*15*13*11*9*7*5*3*2
=——————————————————————
2*29*27*25*23*21*19*17*15*13*11*9*7*5*3
=31
而实际上M=906内所含素数加法对称点的个数是68个，误差是37(以‘—--’线表示上下两素数的加法对称关系):
457 463 467 487 509 523 547 557 569 593 599
--- ---- ---- ---- --- --- --- --- --- --- ---
449 443 439 419 397 383 359 349 337 313 307
613 643 673 677 683 709 727 733 739 743 757 769 797
--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---
293 263 233 229 223 197 179 173 167 163 149 137 109
809 823 827 839 853 859 863 877 883 887
--- --- --- --- --- --- --- --- --- ---
97 83 79 67 53 47 43 29 23 19
下表列出了一些偶数的素数加法对称点的实际数与平均数及两者的存在区间:
M筛子数 M余数列 P3 实际数 存在区间y/2____M/2
1009，7，5，3，1，2，0，1， 7.4 6×2 = 12 4 -----50
989，7，5，3，8，0，3，2， 6.5 4×2 = 8 4 -----49
969，7，5，3，6，5，1，0， 10.67×2 = 14 4 -----48
949，7，5，3，4，3，4，1， 5.25×2 = 10 4 -----47
929，7，5，3，2，1，2，2， 5.14×2 = 8 4 -----46
889，7，5，3，7，4，3，1， 4.84×2 = 8 4 -----44
869，7，5，3，5，2，1，2， 4.75×2 = 10 4 -----43
829，7，5，3，1，1，2，1， 4.55×2 = 10 4 -----41
807，5，3， 3，0，2， 7.65×2 = 10 3 -----40
787，5，3， 1，4，0， 11.16×2 = 12 3 -----39
224 13，11，9，7，5，3， 3，4，8，0，4，2 10.3 8×2 = 16 6 -----112
220 13，11，9，7，5，3， 12，0，4，3，0，1， 12.89×2 = 18 6 -----110
218 13，11，9，7，5，3， 10，9，2，1，3，2， 8.37×2 = 14 6 -----109
904 29，27，25，23，21， 5，13，4，7，1，11，
19，17，15，13，11， 3，4，7，2，4，1，4，
9，7，5，3， 1， 15.517×2= 34 14 -----452
908 29，27，25，23，21， 9，17，8，11，5，15，
19，17，15，13，11， 7，8，11，6，8，5，
9，7，5，3， 3，2， 15.616×2= 32 14 -----454
由此可知，证明歌德巴赫猜想有一句话就行：
由于在任意偶数M>6内素数加法对称点的存在数大于y/2，所以歌德巴赫猜想成立。
D,任意给定2M>6（M仍为偶数），求M—0的区间 里有多少个减法对称点，即表达式M = p1-p2涉及p1、p2的个数，（2M>p1>p2）,
将表达式M=p1-p2 移项得：
M+p2=p1 （5）
从（5）式可以看出，符合“规定的r条件”便是：
p2的余数列中不能出现“0”，并且不能出现另一个余数：这个余数与M的非“0”余数加起来等于同一个除数的值。
如此一来，（1）式中r的取值就是：当M的余数是0时，r=1; 当M 的余数是非“0”的余数时，r=2 .
将给定的2M及它的最大“筛子数”y代入（1）式有：
2M （y-r）!!
P4 = —— * ———— 。。。。。。。。 （6）
2 （y）!!
p1与p2在减法中不能互换位置，但P4的计算把p1的余数条件也算进去了，所以P4/2（即不能把p1符合r条件但小于M的数与p2符合条件的数放在一起计算，因为M-p1=-p2无意义）才是实际的减法对称点表达式的个数，它涉及到P4个素数。
例如：求M=42表示为两素数（条件为：2×42>p1>p2）之差的表达式平均个数.
第一步，2M=84 ， 84的“筛子数”是： 9， 7， 5， 3 ，
42的“余数列”是： 6， 0， 2， 0 ，
r所对应的值是： 2， 1， 2， 1 ，
第二步，代入（6）式有：
P4 = 42（9-2）（7-1）（5-2）（3-1）/9*7*5*3 = 42*6*2 / 9*5 = 11.2
P4/2 = 11.2/2 = 5.6
实际表达式是 9 个,涉及18个素数：
（83-41），（79-37），（73-31），（71-29），（61-19），（59-17），（53-11），（47-5），（43-1）。
同样道理，（6）式说明当给定的M趋于无穷大时，P4及实际素数减法表达式存在的个数也无穷大。
有了M区间里的素数个数、素数加法对称点的个数，不难求出M区间里的M可表示成素数与合数相加的表达式个数p（1，n）的值：
P5 = P1 - P3 （即素数总个数减去加法对称点的素数个数就是剩下的单个的素数，它必定与合数相加而等于M）。
同理P6 = M/4 - P5 - P3/2 便是M内合数与合数相加等于M的表达式存在个数p（m，n）。
P5，P6是P1、P3的推论，它们的误差率是随P1和P3的误差率而变化的。只说明客观上存在，没有精确计算的价值。
下面论证在另一种余数排列图中有关素数p=4m+1,4m-1的一些特性——莱默猜想：
同余式MM';=1(mod p).......(1)其中p为奇素数,它们的解的情形与性质,显然是使用中国剩余定理的一个重要问题,
设M=np+r,M';=n';p+r';,其中0b 。
将b=a+x代入 （2）式：
（a+x）[p -（a+x）]=hp+1
整理得： （k+x）p +1 –2x（a+x）= hp+1 ……………………… （3）
因p为素数，且p>x,p>（a+x），则在 2x（a+x）中不含p因子，故不能与（k+x）p合并成fp（f为整数）型的数，所以欲使（3）式成立，只有 1-2x（a+x）=1 ， 即x=0 （或x=-a但x=-a无意义） 。
这说明a=b, 换言之，在对称线上只有一个点满足条件：
n（p-n）=kp+1
由此得出结论,在p=4m+1的奇偶积余数坐标系中的对称线上只存在一个余数为r=1的点。
例如p=4*4+1=17时,对称线上的点是(4,13),对称线左侧的点是(2,9),(6,3)。对称线右侧的点是（8，15），（14，11）。
例如p=4*5-1=19时,对称线上没有余数为 1的点,对称线左侧的点是(4,5),对称线右侧的点是(14,15)。
因此,与莱默猜想等价的命题得到证明。
莱默先生将(a,b),(b,a)视作两个点,故有
当p=4n-1时,Np能被4整除,即Np=0 (mod p)
当p=4n+1时,Np被4除余2,即Np=2 (mod p)
等价的命题是将(a,b),(b,a)视作一个点,故有
当p=4n-1时,Np能被2整除, 即Np=0 (mod p)
当p=4n+1时,Np能被2除余1, 即Np=1 (mod p)
两者实质是一样的。因为有(a,b)点,必有(b,a)点,只不过将坐标系上M与M’的点都用连续自然数表示即可直接证明莱默猜想，但那样必定将证明过程人为地复杂化了。
同理，按不同的条件要求作出的各种余数排列中，可以用这些古老笨拙的办法找到很多“特种数”以及它们存在关系的内在规律，那是一个奇妙的空间。
论证完毕。
温 国 斌
于 ： 河北，阳原，西城。
（2004年5月 1 日 初稿 ）
（ 2004年9月20日修改稿）
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发表于 2004-10-11 09:55
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