微分概念中的dx和定积分概念中的dx是一回事吗？

fm1134

在微分概念中，对于函数y=f(x)而言，微分dx不必是无穷小量,比如:有的教材中就有dx=0.2这样的写法；而在定积分概念中，∫f(x)dx中的dx必须是一个无穷小量．这么说来，微分概念中的dx和定积分概念中的dx不是一回事了？

数学爱好者A

在微分概念中，对于函数y=f(x)而言，微分dx不必是无穷小量,比如:有的教材中就有dx=0.2这样的写法；而在定积分概念中，∫f(x)dx中的dx必须是一个无穷小量．这么说来，微分概念中的dx和定积分概念中的dx不是一回事了？
你从哪里看到dx=0.2这样的写法？
导数的定义
y=f(x)，dy/dx=  lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx
               Δx→0
怎么可能有dx=0.2呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 10:23am 第 1 次编辑]

微分记号 dx ，是由莱布尼茨（Leibniz）首先提出来的。
莱布尼茨最初的想法，是把微分当作无穷小量来看待的，把微分用在求导记号 dy/dx 和积分记号 ∫f(x)dx 中。
但是，莱布尼茨又希望把微分当作普通的数一样进行加减乘除运算。
由于当时对无穷小量没有严格的定义，对无穷小量随意进行加减乘除运算，有可能出现荒谬的结果。
莱布尼茨为了避免人们的批评，又把微分定义为不是无穷小量，定义：dx=Δx ，df(x)=f';(x)Δx 。
现在数学教科书（标准微积分）中，沿用了莱比尼茨这样的微分定义。
这样，对微分就可以像普通的数一样加减乘除了，例如 df(x)/dx=f';(x)Δx/Δx=f';(x) 。
有时微分 dx 也可以取定一个具体数值，例如我们说“令 dx=0.2”,就是说“令 Δx=0.2”的意思。
但是，这种做法并不能走得很远，对二阶微分、三阶微分，就很难用这种方法来定义。
而且，不把微分 dx 看作无穷小量，却又把 dx 写在积分记号里面，似乎它又是无穷小量，确实很矛盾。
现在数学教科书中，对这样的矛盾，都避而不谈，没有什么明确的说法。
我个人意见，应该把微分 dx 定义为无穷小量，这样在积分记号中的微分和在求导记号中的微分，意义就能统一了。
在现代数学中，特别是 A. Robinson 提出“非标准分析”以后，对无穷小量已经有了严格的定义。
所以，按照“非标准分析”把微分 dx 定义为无穷小量，可以对它进行各种运算，不必担心会出现荒谬的结果了。

数学爱好者A

陆教授，我认为是这样：在实数体系中不可能定义出那个无穷小量的实数出来。如果定义出来必然导致与实数完备性公理矛盾的悖论。只能按柯西的极限定义来解决
“非标准分析”把微分 dx 定义为无穷小量，首先一定要扩展数系，将实数系扩展成超实数系。这个超实数系不满足完备性。无穷小和无穷大都不具有阿基米德性。
“非标准分析”太难理解了。看了一点，感觉太难了！

fm1134

同济版<高数>微分部分的例题中,就有dy=0.24的写法．以前还看到过＂当dx=0.2时，dy=....＂的写法，但记不太清楚是哪本书了． 我很同意luyuanhong老师的看法，通用的数学符号，它的意义应该是明确的，就像加号"+"一样，不论是在代数运算中，或者微分方程中，加号"+"的意义和运算性质都是唯一确定的．而在高等数学中，常会见到同一数学符号在不同场合代表不同意义的现象，比如微分中的dx和定积分∫f(x)dx中的dx，还有导数定义dy/dx中的dx，二重积分和第二类曲面积分中的dxdy，都是同一符号代表不同意义的例子．这样一来，给学习和使用带来不必要的麻烦和混乱，建议教材的编纂者能否改善一下这种状况？ 说到dx是否是无穷小，我觉得：导数的定义dy/dx中的dx和dy都是无穷小，那么作为导数逆运算的定积分中的dx应该也是无穷小才对．

数学爱好者A

目前的数学分析应该是定义的很清楚了
y=f(x)，dy/dx=  lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx
              Δx→0
我无法理解你所说的dy=0.24的写法．以前还看到过＂当dx=0.2时

fm1134

我已经说过了，同济版＜高数＞上册微分部分内容的例题中，明明白白写"dy=0.24"，不信你可以查查书去．

eflet123

是用微分来估算增量的那部分吧,我也看到高数书上有那样的表述.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 10:25am 第 2 次编辑]

在普通的高等数学（标准微积分）教科书中，沿袭莱布尼茨的做法，把微分 dx 定义为就是增量 Δx ，即 dx=Δx 。
因为增量 Δx 可以是一个非零实数，例如可以令 Δx=0.24 ，当然也就可以写 dx=0.24 了。
但是，这种定义，其实是很不自然、很不合理的，并不符合一般人心目中对微分的看法，数学爱好者A对此感到惊讶，是很正常的。
照一般人的看法，微分与增量是不同的，增量 Δx 是一个非零实数，微分 dx 是一个非零无穷小量，这想法是很合理、很自然的。
但是，在标准微积分中，却是不承认“无穷小量”的现实存在的，最多只是把它当作一个临时的概念偶尔使用一下。
只有在“非标准分析”中，“无穷小量”“无穷大量”才有了合法的地位，我们可以简单地把微分 dx 定义为无穷小量。
我个人认为，我们最好能够接受“非标准分析”，采用“非标准分析”中对微分的定义。我们这样定义，有很多好处：
（1）符合一般人心目中对微分的自然、合理的看法。
（2）微分 dx 可以像普通变量一样，自由地做各种加减乘除运算。
（3）在微商 dy/dx 中的 dx 、在积分式 ∫f(x)dx 中的 dx ，具有统一的意义（都是无穷小量），不会发生矛盾。

fm1134

luyuanhong老师说得极是啊！
但现在主流的微积分教材都是把微分dx作为一个非无穷小的有限量来引入的，因而出现了一会"dx=0.24"，一会dx又是无穷小量的混乱局面．这样，只会增加学习和使用的困难，一点好处也没有．